Programma del corso
Metodi matematici e statistici 1 (CDL)
Sede della Spezia - dall'a.a. 2004-2005 all'a.a 2008-2009

Prof. Franco Bampi

 

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I numeri tra parentesi si riferiscono alle pagine del libro
F. Bampi, C. Zordan, Meccanica Razionale con elementi di ProbabilitÓ e Variabili Aleatorie, Ecig, Genova, 2003

Calcolo vettoriale

Algebra vettoriale

Spazi vettoriali (7). Indipendenza lineare, dimensione, basi (7). Prodotto scalare (7). Struttura di spazio vettoriale dello spazio ambiente (7). Versori (8). Basi ortonormali (8). Rappresentazione cartesiana ortogonale di un vettore (8). Notazione di Grassmann (9). Prodotto scalare (10). Prodotto vettore (11). Operazioni composte (12). Operatori vettoriali (16). Rappresentazione su base degli operatori vettoriali lineari (17). Esempio (18).

Analisi vettoriale

Vettore funzione di parametro (19). Limite di funzioni vettoriali (20). Derivata di funzioni vettoriali (20). Integrale di funzioni vettoriali (21).

Meccanica del punto

Cinematica del punto

Tempo, spazio (29). Osservatore ideale (29). Movimento e sua descrizione (29). Moti particolari (31). VelocitÓ e sue proprietÓ (31). Moti a velocitÓ costante (32). Accelerazione e sue proprietÓ (32). Moti accelerati e ritardati (33). Moti ad accelerazione costante (34).

Cinematica relativa

Assioma di tempo assoluto (34). Assioma di spazio assoluto (34). Moto di trascinamento (35). Esempio: relativitÓ della descrizione del moto (35). Derivata temporale assoluta e relativa (36). Formule di Poisson (37). Significato meccanico del vettore ω (38). Legame tra derivata assoluta e relativa (41). Legge di composizione delle velocitÓ angolari (42). Teorema di Galilei (43). Commento ed esempi (44). Teorema di Coriolis (45). Trasformazioni di Galilei (46).

Dinamica e statica

Punto materiale (46). Punto materiale isolato (47). Legge d'inerzia: I legge della dinamica (47). Forze (47). Esempi di forze (47). Legge di Newton: II legge della dinamica (48). Uso della II legge della dinamica (49). Principio di azione e reazione: III legge della dinamica (49). Principio di relativitÓ galileiana (50). Dinamica relativa (50). Struttura matematica delle equazioni di Newton (51). Equilibrio di un punto materiale (53). Statica in un riferimento inerziale (54). Implicazioni dinamiche (55). Integrali primi (55). Individuazione degli integrali primi (56). Teorema dell'energia (57). Campi conservativi (58). Teorema sui campi conservativi (59). Esempi (61). Integrale dell'energia (61). Teorema dell'energia nel caso generale (61). Forze giroscopiche, dissipative, motrici (62). Vincoli (63). Caratterizzazione della reazione vincolare (63). Teorema dell'energia nel caso vincolato (66).

Meccanica dei sistemi

Sistemi di vettori applicati

Vettori applicati (69). Asse centrale (70). Nota circa il polo Ω (72). Coppia (72). Equivalenza e riducibilitÓ di sistemi di vettori applicati (72).

Equazioni cardinali

Sistemi di punti materiali (75). Forze interne come sistema equilibrato (76). Equazioni cardinali della statica (77). Equazioni cardinali della dinamica (77). Teorema sulle equazioni cardinali (79). Baricentro (79). Conseguenze della definizione di baricentro (80). Baricentro come punto di applicazione della forza peso (81). Prima equazione cardinale: leggi di conservazione (81). Seconda equazione cardinale: leggi di conservazione (82). Teorema dell'energia (83). Caso conservativo (84).

Baricentri

ProprietÓ del baricentro (85). Baricentro di un sistema continuo (87).

Corpi rigidi

Cinematica dei moti rigidi

Vincolo di rigiditÓ (89). Spazio rigido associato a un corpo rigido (89). Caratterizzazione cinematica dei corpi rigidi (89). Centro di istantanea rotazione.

L'operatore d'inerzia

Motivazione (92). Definizione (92). ProprietÓ (93). Rappresentazione matriciale (93). Calcolo delle componenti dell'operatore d'inerzia (93). Diagonalizzazione della matrice d'inerzia (94). ProprietÓ notevoli (95). Assi principali e simmetrie (95). Momenti d'inerzia (96). Formula di trasposizione per l'operatore d'inerzia (98). Formula di trasposizione per la matrice d'inerzia (99). Teorema di Huygens-Steiner (100). AdditivitÓ dei momenti d'inerzia (101). Ellissoide d'inerzia (102).

Meccanica dei corpi rigidi

Sufficienza delle equazioni cardinali (102). Energia cinetica (102). Momento angolare (103). Seconda equazione cardinale (104). Potenza di un sistema di forze (105). Teorema dell'energia (105). Equilibrio (106).

Moti rigidi notevoli

Corpo rigido con asse fisso (106). (Cenno ai) Cimenti dinamici (109). Orientazione di un corpo rigido nello spazio (110). Angoli di Eulero (110). VelocitÓ angolare e angoli di Eulero (111). Corpo rigido con punto fisso (114). Equazioni di Eulero (114). Rotazioni permanenti (116). Moti di precessione (116). Moti alla Poinsot (117). Moti alla Poinsot per corpi con struttura sferica (117). Moti alla Poinsot per corpi con struttura giroscopica (117). Rotazioni permanenti nei moti alla Poinsot (118). Sui momenti di deviazione (119). Corpo rigido libero (119). Corpo rigido libero soggetto a forze baricentrali (120).


ProbabilitÓ degli eventi

GeneralitÓ

Preliminari (225). Metodo della frequenza relativa (225). Metodo classico (226).

Richiami di teoria degli insiemi

Notazioni (226). Addizione o somma (o unione) (226). Moltiplicazione o prodotto (o intersezione) (227). Complementare di A (227). Differenza (227). Leggi di De Morgan (228).

Metodo assiomatico deduttivo

Esperimento, risultato, evento, prova (228). Campi (229). I tre assiomi della probabilitÓ (230). Conseguenze degli assiomi (230). Campi di Borel (231). Definizione probabilistica di esperimento (231). ProbabilitÓ nel caso finito (231). ProbabilitÓ nel caso continuo (232). Eventi con probabilitÓ nulla (233).

ProbabilitÓ condizionate

Definizione (234). La probabilitÓ condizionata Ŕ una probabilitÓ (235). Teorema della probabilitÓ totale (236). Teorema di Bayes (238). Eventi indipendenti (239).

Prove di Bernoulli

Ripetizione di un esperimento (240). Il k pi¨ probabile (242). Determinazione di P(k1 ≤ k ≤ k2) (243).

Teoremi di asintoticitÓ (da leggere)

Teorema di De Moivre-Laplace (244). Valutazione di P(k1 ≤ k ≤ k2) (245). Il caso k1 = 0 (246). La legge dei grandi numeri (246). Approssimazione di Poisson (248).

Variabili aleatorie

Definizione e proprietÓ

Esperimento (249). Definizione (249). La funzione di distribuzione di probabilitÓ (249). Limite destro e limite sinistro di F(X) (250). Uso di F(X) per il calcolare le probabilitÓ (250). La ôdeltaö di Dirac (251). Funzione di densitÓ di probabilitÓ: caso continuo (252). Funzione di densitÓ di probabilitÓ: caso generale (253). Variabile aleatoria gaussiana (254).

Funzioni di una variabile aleatoria

Definizione (258). Media di una variabile aleatoria (259). Media di una funzione di una variabile aleatoria (260). Varianza di una variabile aleatoria (261). Legame tra media e varianza (261). Diseguaglianza di Chebyshev (261).

Appendice 1: Equazioni differenziali lineari (281-286)

Appendice 2: La funzione di Gauss e la funzione errore (287-290)