Lezioni di Geometria 1 Anno accademico 1999-2000 (primo semestre)

• Lezione del 21-9-1999 (due ore)
  • Equazioni: equazioni in una e due incognite.
  • Richiami sugli insiemi numerici N,Z,Q,R.
  • Proprietà geometriche dell'insieme R.
  • Interpretazione insiemistica delle equazioni.
  • Richiami sul prodotto cartesiano di insiemi.
  • Sistemi di equazioni.
  • Interpretazione insiemistica dei sistemi di equazioni.
• Lezione del 22-9-1999 (due ore)
  • Sistemi lineari. Generalità e notazioni.
  • Matrici associate ad un sistema lineare.
  • Soluzioni di un sistema lineare.
  • Le operazioni elementari.
  • Algoritmo di Gauss per la riduzione di un sistema lineare.
• Lezione del 29-9-1999 (due ore)
  • Sistemi ridotti e matrici ridotte per righe.
  • Pivot di una matrice ridotta.
  • Sistemi lineari con e senza soluzioni.
  • Risoluzione di sistemi lineari: incognite pivotali.
  • Algoritmo retrogrado di Gauss: sistemi totalmente ridotti.
  • Numero di soluzioni un sistema lineare.
  • Sistemi omogenei e struttura delle loro soluzioni.
  • Scelta del pivot nella riduzione gaussiana: vantaggi della pivotizzazione parziale
  • Matrici: definizioni e notazioni.
  • Matrici diagonali e triangolari.
• Lezione del 6-10-1999 (due ore)
  • Somma di matrici e sue proprietà.
  • Prodotto tra matrice e scalare e sue proprietà.
  • Combinazioni lineari.
  • Prodotto tra una matrice e una matrice colonna.
  • Proprietà del prodotto per una matrice colonna.
  • Sistemi lineari interpretati come prodotti per matrice colonna.
  • Prodotto tra matrici in generale.
  • Proprietà del prodotto tra matrici.
  • Non commutatività del prodotto tra matrici.
  • Non validità della legge di annullamento del prodotto tra matrici.
  • Matrice identica.
  • Matrici invertibili e non.
• Lezione del 13-10-1999 (due ore)
  • Matrici elementari: loro uso e loro inverse.
  • Caratterizzazioni delle matrici invertibili.
  • Algoritmo per il calcolo della matrice inversa.
  • Determinante: definizione e prime proprietà
  • Determinante delle matrici elementari.
  • Primo teorema di Laplace per righe.
  • Variazione del determinante per operazioni elementari.
  • Determinante di una matrice triangolare superiore.
• Lezione del 20-10-1999 (due ore)
  • Matrici trasposte.
  • Determinante della matrice trasposta.
  • Primo teorema di Laplace per colonne.
  • Teorema di Binet.
  • Secondo teorema di Laplace.
  • Calcolo dell'inversa mediante i complementi algebrici.
  • Caratteristica: varie definizioni: caratteristica per righe e per colonne.
  • Sottomatrici: numero di sottomatrici di una matrice mxn: cenno sul simbolo binomiale.
  • Definizione di caratteristica con l'uso dei minori.
  • Invarianza della caratteristica per trasformazioni elementari.
  • Caratteristica di una matrice ridotta.
  • Teorema di Rouché-Capelli.
  • Teorema di Cramer e regola di Cramer.
  • Cenno sulla complessità computazionale.
• Lezione del 27-10-1999 (due ore)
  • Righe di una matrice che sono combinazione lineare delle rimanenti.
  • Fattorizzazione LU e fattorizzazione PA=LU,
  • Uso della pivotizzazione nella fattorizzazione PA=LU.
  • Uso della LU e dlla PA=LU per risolvere i sistemi lineari.
  • Varie forme di fattorizzazione LU. Fattorizzazione LU su MatLab.
• Lezione del 3-11-1999 (due ore)
  • Numeri complessi: motivazioni per l'introduzione.
  • Definizione di C.
  • Somma e prodotto di numeri complessi.
  • Coniugato di un numero complesso.
  • Rappresentazione di numeri complessi nel piano di Argand-Gauss.
  • Modulo e argomenti di un numero complesso.
  • Calcolo dell'argomento di un numero complesso anche mediante calcolatrice.
  • Forma trigonometrica di un numero complesso.
  • Formula di Eulero.
• Lezione del 10-11-1999 (due ore)
  • Forma esponenziale di un numero complesso.
  • Prodotto di numeri complessi in forma esponenziale.
  • Cenno sulla funzioni esponenziale e sulle funzioni trigonometriche complesse.
  • Formula di DeMoivre.
  • L'equazione xⁿ=a e struttura delle sue soluzioni.
  • Polinomi: generalità e operazioni fondamentali: somma, prodotto.
  • Divisione con resto di polinomi.
  • Polinomi come espressioni formali, polinomi come funzioni di variabile reale ed equazioni polinomiali.
  • Teorema di Ruffini o del resto.
  • Radici di un polinomio.
  • Molteplicità di una radice.
• Lezione del 17-11-1999 (due ore)
  • Molteplicità di una radice: criterio della derivata.
  • Teorema fondamentale dell'algebra.
  • Difficoltà del reperimento delle radici dei polinomi.
  • Polinomi reali e loro radici coniugate.
  • Decomposizione di polinomi in fattori irriducibili sia complessi che reali.
  • Spazi vettoriali. Generalità.
  • Esempi: spazi Rⁿ, spazi di matrici, spazi di funzioni: lo spazio C(R).
  • Combinazioni lineari. Esempi di combinazioni lineari.
  • Vettori linearmente dipendenti e indipendenti.
  • Sottospazi: definizione.
• Lezione del 24-11-1999 (due ore)
  • Lo spazio L{v₁,...,v _n}.
  • Sistemi di generatori.
  • Spazi di tipo finito.
  • Metodo degli scarti succesivi.
  • Basi: tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori.
  • Dimensione e sue proprietà.
  • Completamento a base.
  • Sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo.
• Lezione dell' 1-12-1999 (due ore)
  • Coordinate di un vettore rispetto a una base.
  • Matrice delle coordinate di un vettore.
  • Matrice delle coordinate di una successione di vettori.
  • Matrice di passaggio tra due basi.
  • Vettori geometrici: definizione intuitiva.
  • Segmenti orientati ed equipollenza.
  • Definizione di vettore geometrico.
• Lezione del 15-12-1999 (due ore)
  • Somma e prodotto per scalare di vettori geometrici.
  • Combinazioni lineari di vettori geometrici.
  • Significato della lineare indipendenza di vettori geoemtrici.
  • Modulo di un vettore.
  • Angolo tra due vettori.
  • Prodotto scalare.
  • Versori.
  • Basi ortonormali.
  • Coordinate rispetto a una base.
  • Operazioni tra vettori mediante le coordinate.
  • Prodotto scalare mediante le coordinate.
  • Proiezione di un vettore geometrico su un vettore.
  • Proiezione di un vettore geometrico su un sottospazio.
  • Prodotto vettore.
• Lezione del 21-12-1999 (due ore)
  • Proprietà del prodotto vettore.
  • Basi destrorse.
  • Prodotto vettore mediante le coordinate.
  • Significato geometrico del prodotto vettore.
  • Prodotto misto di tre vettori.
  • Significato geometrico del prodotto misto.
  • Costruzione di basi ortonormali: algoritmo di Gram-Schmidt.

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