Lezioni di Geometria 2 Anno accademico 1999-2000 (secondo semestre)

Lezione del 29-2-2000 (due ore)

• Coodinate cartesiane nel piano e nello spazio.
• Coordinate di un vettore rappresentato da un dato segmento orientato.
• Distanza di due punti.
• Rappresentazione vettoriale e parametrica di una retta.
• Diverse rappresentazioni parametriche di una retta.
• Retta per due punti.
• Punto medio, punto simmetrico e divisione di un segmento in varie parti.
• Rette parallele.
• Intersezione tra due rette (cambiare il parametro !).

• Rette coincidenti, parallele, incidenti, sghembe.
• Angoli tra due rette nel piano e nello spazio.
• Rette ortogonali: differenze tra piano e spazio.
• Rette passanti per un punto e ortogonali a una data retta.
• Proiezione ortogonale di un punto su di una retta nel piano.
• Simmetria rispetto a a una retta nel piano.
• Rappresentazione cartesiana di una retta nel piano: vettore normale.
• Significato della rappresentazione parametrica e della rappresentazione cartesiana di un oggetto in generale.
• Distanza di un punto da una retta nel piano.

• Rappresentazione cartesiana di un piano nello spazio.
• Vettore normale ad un piano.
• Piani particolari: piani paralleli agli assi e piani coordinati.
• Piani paralleli.
• Intersezione tra una retta e un piano.
• Rette e piani paralleli, rette giacenti su piani.
• Rette e piani ortogonali.
• Proiezione ortogonale di un punto su un piano.
• Retta come intersezione di due piani.

• Retta nello spazio: passaggio dalla rappresentazione parametrica a quella cartesiana.
• Vettore direzionale di una retta intersezione di due piani.
• Fasci di piani.
• Rappresentazione parametrica di un piano.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta: distanza di un punto da una retta.
• Distanza di un punto da un piano.
• Simmetria rispetto a un punto, a una retta o a un piano.
• Distanza tra due rette sghembe e comune perpendicolare.
• Angolo tra un piano e una retta.
• La circonferenza nel piano: sua rappresentazione cartesiana.
• Ricerca di centro e raggio di una circonferenza nel piano.
• Il completamento dei quadrati.

• Retta tangente a una circonferenza in un suo punto.
• Rette tangenti a una circonferenza passanti per un punto esterno.
• Circonferenze tangenti a una retta in un suo punto.
• Allineamento di tre punti nel piano.
• Circonferenza passante per tre punti non allineati.
• Rappresentazioni parametriche di una circonferenza.
• Sfera nello spazio: rappresentazione cartesiana
• Piano tangente a una sfera in un suo punto.
• Posizione di una retta rispetto a una sfera: rette tangenti.
• Rappresentazione cartesiana di una circonferenza come intersezione di un piano e una sfera.
• Asse di una circonferenza.
• Sfere contenenti una data circonferenza.
• Allineamento di tre punti e complanarità di quattro punti nello spazio.
• Circonferenza passante per tre punti non allineati nello spazio.
• Definizione assai informale di retta tangente a una curva in un suo punto.
• Retta tangente a una circonferenza.

• Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali: definizione.
• Esempi di trasformazioni lineari.
• Trasformazioni lineari assegnate con forme lineari.
• Applicazione lineare f:Kⁿ -->K^m associata a una matrice tramite le basi canoniche.
• Matrice associata a un'applicazione f:Kⁿ -->K^m rispetto alle basi canoniche.
• Matrice associata a un'applicazione f:V -->W rispetto a basi qualunque.
• Uso della matrice associata.

• Applicazione lineare f:V -->W associata a una matrice tramite basi qualunque.
• Un esempio: le rotazioni nel piano.
• Nucleo di un'applicazione e sue proprietà.
• Dimensione del nucleo e rango della matrice associata.
• Immagine di un'applicazione lineare e sue proprietà
• Dimensione dell'immagine di un'applicazione lineare.
• Significato del rango della matrice associata a un'applicazione lineare.
• Teorema su dimensione di nucleo e immagine in un'applicazione lineare.
• Applicazioni lineari iniettive e surgettive.

• Definizione di un'applicazione lineare mediante i trasformati di una base.
• Composizione di applicazioni lineari.
• Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari.
• Applicazioni invertibili.
• Applicazione identica.
• Endomorfismi.
• È bene che la matrice associata ad un endomorfismo lo sia tramite una sola base.
• Matrici diagonali: il problema della diagonalizzazione.
• Autovettori, autovalori.
• Relazione tra la diagonalizzabilità di una matrice e gli autovalori.
• Ricerca di autovalori: il polinomio caratteristico.

• Relazione tra matrici associate alla stessa applicazione lineare tramite basi diverse.
• Matrici simili.
• Invarianza del polinomio caratteristico per similitudine.
• Relazione tra la molteplicità di un autovalore e la dimensione dell'autospazio.
• Considerazioni sulle molteplicità degli autovalori.
• Criterio fondamentale di diagonalizzabilità.
• Lineare indipendenza degli autovettori.
• Uso della diagonalizzazione per il calcolo delle potenze di una matrice.
• Cenno sull'uso della diagonalizzazione per la risoluzione di sistemi lineari di equazioni differenziali del primo ordine.

• Spazi dotati di prodotto scalare.
• Prodotto scalare euclideo.
• Norme.
• Sistemi di vettori ortogonali, basi ortonormali.
• Algoritmo di Gram-Schmidt.
• Spazi ortogonali e complemento ortogonale.

• Matrici ortogonali.
• Rotazioni di coordinate nel piano e nello spazio.
• Applicazioni autoaggiunte.
• Teorema spettrale.
• Forma matriciale del teorema spettrale.
• Forme quadratiche: prime definizioni.
• Carattere di definizione di una forma quadratica.

• Forme quadratiche: definzione matriciale.
• Studio del carattere di definizione di una forma quadratica, mediante gli autovalori della matrice simmetrica associata.
• Matrici simili, ortogonalmente simili e congruenti.
• Teorema di inerzia di Sylvester.
• Riduzione di una matrice a matrice diagonale congruente mediante algoritmo di Gauss.
• Criterio dei minori principali.
• Le coniche nel piano: definizioni generali.
• Le coniche degeneri di tipo parabolico.

• La parabola.
• Le coniche di tipo ellittico e iperbolico.
• Assi, centri di simmetria, fuochi e direttrici delle coniche.
• Traslazioni nel piano.
• Riduzione a forma canonica di coniche con assi paralleli a quelli coordinati.
• Rototraslazioni.
• Riduzione a forma canonica di una conica quando occorre una rotazione.
• Alcuni criteri per il riconoscimento delle coniche.

• Varie sulle coniche: centro di simmetria, direzioni degli assi, asintoti.
• Cenno sulle linee nel piano: rappresentazione cartesiana e parametrica.
• Qualche esempio di curve nel piano.
• Superfici e linee nello spazio.
• Linee piane.
• Cilindri con assi paralleli agli assi coordinati.
• Linee come intersezione di due superfici
• Studio di superfici mediante sezioni con piani.
• Coni con vertice nell'origine.

• Superfici di rotazione.
• Quadriche: descrizione delle quadriche in forma canonica.
• Quadriche di rotazione e quadriche rigate.
• Cenno sulla riduzione a forma canonica delle quadriche.

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