Lezioni di Geometria 1 (per i corsi di Ingegneria Gestionale e diploma Logistica e Produzione)

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• Lezione del 20-9-1999 (due ore)
  • Equazioni: equazioni in una e due incognite.
  • Richiami sugli insiemi numerici N,Z,Q,R.
  • Proprietà geometriche dell'insieme R.
  • Interpretazione insiemistica delle equazioni.
  • Richiami sul prodotto cartesiano di insiemi.
  • Sistemi di equazioni.
  • Interpretazione insiemistica dei sistemi di equazioni.
  • Prime nozioni sui sistemi lineari.
• Lezione del 21-9-1999 (due ore)
  • Sistemi lineari. Generalità e notazioni.
  • Matrici associate ad un sistema lineare.
  • Matrici diagonali e triangolari.
  • Soluzioni di un sistema lineare.
  • Risoluzione di un sistema ridotto avente una soluzione.
  • Sistemi ridotti e matrici ridotte per righe.
  • Le operazioni elementari.
  • Algoritmo di Gauss per la riduzione di un sistema lineare.
• Lezione del 27-9-1999 (due ore)
  • Sistemi ridotti e matrici ridotte.
  • Pivot di una matrice ridotta.
  • Sistemi lineari con e senza soluzioni.
  • Risoluzione di sistemi lineari: incognite pivotali.
  • Numero di soluzioni un sistema lineare.
  • Algoritmo retrogrado di Gauss: sistemi totalmente ridotti.
  • Cenno sulla scelta del pivot nella riduzione gaussiana.
• Lezione del 28-9-1999 (due ore)
  • Sistemi lineari con parametro.
  • Sistemi omogenei.
  • Matrici: definizioni e notazioni.
  • Somma di matrici e sue proprietà.
  • Prodotto tra matrice e scalare e sue proprietà.
  • Combinazioni lineari.
  • Prodotto tra una matrice e una matrice colonna. .
• Lezione del 4-10-1999 (due ore)
  • Proprietà del prodotto per una matrice colonna.
  • Sistemi lineari interpretati come prodotti per matrice colonna.
  • Prodotto tra matrici in generale.
  • Proprietà del prodotto tra matrici.
  • Non commutatività del prodotto tra matrici.
  • Non validità della legge di annullamento del prodotto tra matrici.
  • Matrice identica.
  • Matrici invertibili e non.
  • Criteri di invertibilità.
  • Algoritmo di inversione di una matrice.
• Lezione del 5-10-1999 (due ore)
  • Algebra tra matrici quadrate.
  • Determinante di una matrice.
  • Proprietà del determinante: variazione per operazioni elementari.
  • Primo teorema di Laplace.
  • Determinante di una matrice triangolare superiore.
  • Matrici a blocchi e triangolari a blocchi e loro determinante.
  • Matrici invertibili e determinante.
  • Teorema di Binet e prodotto di matrici invertibili.
  • Matrice trasposta.
• Lezione dell' 11-10-1999 (due ore)
  • Determinante della matrice trasposta.
  • Teorema di Laplace per colonne.
  • Inversione di una matrice mediante le matrici complementari.
  • Cenno sulla complessità computazionale.
  • Sottomatrici e minori.
  • Definizione intrinseca di caratteristica.
  • Equivalenza delle varie definizioni di caratteristica.
  • Teoremi di Rouché-Capelli e Cramer.
  • Righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.
• Lezione del 12-10-1999 (due ore)
  • Numeri complessi: definizione.
  • Somma e prodotto di numeri complessi.
  • Coniugato di un numero complesso.
  • Rappresentazione di numeri complessi nel piano di Argand-Gauss.
  • Modulo e argomenti di un numero complesso.
  • Calcolo dell'argomento di un numero complesso.
  • Forma trigonometrica di un numero complesso.
• Lezione del 18-10-1999 (due ore)
  • Formula di Eulero.
  • Forma esponenziale di un numero complesso.
  • Prodotto di numeri complessi in forma esponenziale.
  • Formula di DeMoivre.
  • Radici n-esime di un numero complesso.
  • Radici dell'unità.
  • Cenno sui polinomi: radici e molteplicità.
  • Teorema fondamentale dell'algebra.
  • Radici complesse di polinomi reali e loro coniugate.
• Lezione del 19-10-1999 (due ore)
  • Spazi vettoriali: definizione ed esempi.
  • Combinazioni lineari.
  • Vettori linearmente dipendenti.
  • Vettori linearmente indipendenti: varie caratterizzazioni.
  • Proprietà della lineare dipendenza.
  • Sistemi di generatori.
• Lezione del 25-10-1999 (due ore)
  • Proprietà dei sistemi di generatori.
  • L'insieme L{v₁,...,v _n}.
  • Metodo degli scarti successivi.
  • Basi di uno spazio vettoriale.
  • Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori.
  • Dimensione di uno spazio vettoriale.
  • Proprietà delle basi.
  • Estrazione di base e completamento a base.
• Lezione del 26-10-1999 (due ore)
  • Sottospazi: definizioni ed esempi.
  • Il sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo.
  • Il sottospazio L{v₁,...,v _n}.
  • Dimensione dei sottospazi.
• Lezione del 2-11-1999 (due ore)
  • Applicazioni tra insiemi: definizioni ed esempi.
  • Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.
  • Applicazioni definite mediante forme lineari.
• Lezione dell' 8-11-1999 (due ore)
  • Nucleo di un applicazione lineare.
  • Matrice associata ad un'applicazione lineare f:Rⁿ -> R^m tramite le basi canoniche.
  • Immagine di un applicazione lineare.
  • Dimensione del nucleo, dimensione dell'immagine e caratteristica della matrice associata.
• Lezione del 9-11-1999 (due ore)
  • Applicazioni lineari definite su una base.
  • Vari modi per definire di un'applicazione lineare.
  • Vari modi per determinare nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
  • La matrice delle coordinate di una successione di vettori e sue proprietà.
• Lezione del 15-11-1999 (due ore)
  • Autovettori e autovalori.
  • Ricerca di autovalori: il polinomio caratteristico.
  • Autospazi e loro dimensione.
  • Applicazioni lineari semplici.
  • Criterio fondamentale di diagonalizzabilità.
• Lezione del 16-11-1999 (due ore)
  • Considerazioni sulle molteplicità degli autovalori.
  • Relazione tra la molteplicità di un autovalore e la dimensione dell'autospazio.
  • Lineare indipendenza degli autovettori.
  • Matrici diagonalizzabili e loro diagonalizzazione.
  • Esempi di matrici diagonalizzabili e non.
  • Ricerca di autovalori con MatLab.
  • Le matrici simmetriche sono diagonalizzabili.
• Lezione del 22-11-1999 (due ore)
  • Uso della diagonalizzazione: potenze di matrici.
  • Iterazione di applicazioni lineari e diagonalizzazione.
  • Esempi di costruzione di applicazioni semplici..
  • Vettori geometrici: introduzione.
  • Segmenti orientati ed equipollenza.
  • Definizione di vettore geometrico come classe di equipollenza.
• Lezione del 23-11-1999 (due ore)
  • Somma e prodotto per scalare di vettori geometrici.
  • Combinazioni lineari di vettori geometrici.
  • Significato della lineare indipendenza di vettori geoemtrici.
  • Prodotto scalare.
  • Modulo di un vettore.
  • Versori.
  • Basi ortonormali.
  • Coordinate rispetto a una base ortonormale.
  • Operazioni tra vettori mediante le coordinate.
• Lezione del 29-11-1999 (due ore)
  • Proiezione di un vettore geometrico.
  • Prodotto vettore.
  • Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio.
  • Il vettore (B-A).
  • Allineamento di tre punti.
  • Rappresentazione parametrica di una retta.
• Lezione del 30-11-1999 (due ore)
  • Retta passante per due punti.
  • Varie rappresentazioni parametriche di una retta.
  • Punto medio, punto simmetrico e divisione di un segmento in varie parti.
  • Rette parallele.
  • Intersezione tra due rette (cambiare il parametro !).
  • Distanza tra due punti.
  • Angoli tra due rette nel piano e nello spazio.
  • Rette ortogonali: differenze tra piano e spazio.
  • Proiezione ortogonale di un punto su una retta nel piano.
• Lezione del 6-12-1999 (due ore)
  • Rette ortogonali nello spazio.
  • Retta perpendicolare e incidente da un punto esterno a una retta.
  • Rappresentazione cartesiana di una retta nel piano
  • Osservazione sulle rappresentazioni cartesiane e parametriche.
  • Distanza di un punto da una retta nel piano.
  • Circonferenze nel piano.
  • Determinazione di centro e raggio di una circonferenza.
• Lezione del 7-12-1999 (due ore)
  • Rette tangenti a una circonferenza nel piano.
  • Circonferenze tangenti ad una retta in un suo punto.
  • Circonferenza per tre punti nel piano.
  • Vettore normale a un piano.
  • Rappresentazione cartesiana di un piano nello spazio.
  • Piani particolari: piani paralleli agli assi e piani coordinati.
• Lezione del 13-12-1999 (due ore)
  • Piani paralleli.
  • Rette e piani ortogonali.
  • Rette e piani paralleli, rette giacenti su piani.
  • Piano contenente una retta e un punto.
  • Proiezione ortogonale di un punto su un piano.
  • Proiezione ortogonale di un punto su una retta.
  • Retta come intersezione di due piani.
  • Vettore direzionale di una retta intersezione di due piani.
  • Retta nello spazio: passaggio dalla rappresentazione cartesiana a quella parametrica.
  • Fasci di piani.
  • Rette sghembe.
• Lezione del 14-12-1999 (due ore)
  • Distanza di un punto da un piano.
  • Distanza di due rette sghembe.
  • Punti di minima distanza di due rette sghembe.
  • Distanza di un punto da una retta.
  • Piano contenente due rette incidenti.
  • Rappresentazione di una sfera.
  • Piano tangente a una sfera in un suo punto.
  • Rappresentazione di una circonferenza nello spazio.
  • Centro e raggio di una circonferenza.
  • Sfere contenenti una data circonferenza.
• Lezione del 20-12-1999 (due ore)
  • Rotazione di un punto attorno ad un asse: circonferenza di dato asse.
  • Sfere contenenti una data circonferenza.
  • Le coniche nel piano: definizioni generali.
  • Le coniche di tipo parabolico.
  • Le coniche di tipo ellittico e iperbolico.
  • Fuochi, direttrici, assi e centri di simmetria delle coniche.
  • Coniche con equazioni canoniche.
• Lezione del 21-12-1999 (due ore)
  • Retta tangente a una circonferenza in un suo punto.
  • Traslazioni nel piano.
  • Studio di coniche con assi paralleli a quelli coordinati.
  • Coniche con assi paralleli a quelli coordinati soddisfacenti dati criteri.

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