Lezioni di Geometria 1 Anno accademico 2000-2001 (primo semestre)

Lezione del 25-9-2000

due ore

• Equazioni: equazioni in una e due incognite.
• Richiami sugli insiemi numerici N,Z,Q,R.
• Interpretazione insiemistica delle equazioni.
• Richiami sul prodotto cartesiano di insiemi.
• Sistemi di equazioni.
• Interpretazione insiemistica dei sistemi di equazioni.

• Sistemi lineari. Generalità e notazioni.
• Matrici associate ad un sistema lineare.
• Matrici: definizioni e notazioni.
• Soluzioni di un sistema lineare.
• Le operazioni elementari.
• Algoritmo di Gauss per la riduzione di un sistema lineare.
• Sistemi ridotti e matrici ridotte per righe.
• Pivot di una matrice ridotta.
• Algoritmo retrogrado di Gauss: sistemi totalmente ridotti.
• Numero di soluzioni un sistema lineare.

• Matrici ridotte e totalmente ridotte.
• Teorema di Gauss.
• Sistemi lineari con e senza soluzioni.
• Risoluzione di sistemi lineari: incognite pivotali.
• Numero di soluzioni un sistema lineare.
• Sistemi lineari con parametro: esempi.

• Matrici: definizioni e notazioni.
• Somma di matrici e sue proprietà.
• Prodotto tra matrice e scalare e sue proprietà.
• Combinazioni lineari.
• Prodotto tra una matrice e una matrice colonna.
• Sistemi lineari interpretati come prodotti per matrice colonna.
• Prodotto tra matrici in generale.
• Proprietà del prodotto tra matrici.
• Non commutatività del prodotto tra matrici.
• Non validità della legge di annullamento del prodotto tra matrici.
• Matrice identica.
• Ancora sistemi con parametro.
• Possibilità di scambiare le colonne in sistemi lineari.
• Sistemi omogenei.

• Matrici invertibili e non.
• Criteri di invertibilità.
• Algoritmo di inversione di una matrice.
• Determinante di una matrice.
• Cenno sulla complessità computazionale.

• Esercitazione scritta su sistemi e matrici. Testo e soluzione in PDF
• Primo teorema di Laplace.
• Proprietà del determinante: variazione per operazioni elementari.
• Determinante di una matrice triangolare superiore.
• Strategie per calcolare un determinante.
• Matrici invertibili e determinante.
• Matrice trasposta.
• Determinante della matrice trasposta.
• Teorema di Laplace per colonne.
• Matrici a blocchi e loro determinante.

• Sottomatrici e minori.
• Definizione intrinseca di caratteristica.
• Equivalenza delle varie definizioni di caratteristica.
• Teoremi di Rouché-Capelli e Cramer.

• Prodotto di matrici invertibili e teorema di Binet.
• Equazioni matriciali.
• Righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.
• Numeri complessi: definizione.
• Somma e prodotto di numeri complessi.
• Coniugato di un numero complesso.
• Rappresentazione di numeri complessi nel piano di Argand-Gauss.
• Modulo di un numero complesso.

• Modulo e argomenti di un numero complesso.
• Calcolo dell'argomento di un numero complesso.
• Forma trigonometrica di un numero complesso.
• Formula di Eulero.
• Forma esponenziale di un numero complesso.
• Prodotto di numeri complessi in forma esponenziale.
• Formula di DeMoivre.

• Esercitazione scritta su inverse, determinanti e caratteristiche di matrici.
  Testo e soluzione in PDF
• Radici n-esime di un numero complesso.
• Rappresentazione grafica delle radici n-esime.
• Esempi di radici n-esime.
• Esempi di sottoinsiemi di C.

• Cenno sui polinomi in una indeterminata.
• Molteplicità di una radice.
• Teorema di Ruffini e teorema fondamentale dell'algebra.
• Decomposizione di un polinomio a coefficienti reali o complessi.
• Spazi vettoriali: definizione e primi esempi.
• Vettori geometrici: introduzione.
• Segmenti orientati ed equipollenza.
• Definizione di vettore geometrico come classe di equipollenza.

• Somma e prodotto per scalare di vettori geometrici.
• Combinazioni lineari di vettori.
• Vettori linearmente dipendenti.
• Significato della lineare indipendenza di vettori geoemtrici.
• Vettori linearmente indipendenti: varie caratterizzazioni.
• Criterio di lineare indipendenza in Kⁿ
• Sistemi di generatori.

• Basi di uno spazio vettoriale.
• Proprietà delle basi.
• Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori.
• Dimensione di uno spazio vettoriale.
• Sottospazi: definizioni ed esempi.
• Il sottospazio L{v₁,...,v _n}.
• Metodo degli scarti successivi.

• Estrazione di base e completamento a base.
• Il sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo.
• Dimensione dei sottospazi.
• Coordinate di un vettore rispetto a una base.
• Operazioni tra vettori in coordinate in V₃.
• Modulo di un vettore.
• Prodotto scalare tra vettori geometrici.
• Basi ortonormali.
• Coordinate rispetto a una base ortonormale.
• Prodotto scalare mediante le coordinate.

• Applicazioni tra insiemi: definizioni ed esempi.
• Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.
• Applicazioni definite mediante forme lineari.
• I sottospazi di R⁴.
• Vettori ortogonali a un vettore dato in V₃.
• Normalizzazione di vettori.

• Esercitazione scritta su numeri complessi e sottospazi. Testo e soluzione in PDF
• Nucleo di un applicazione lineare.
• Matrice associata ad un'applicazione lineare f:Kⁿ -> K^m tramite le basi canoniche.
• Applicazione lineare associata a una matrice.
• Immagine di un applicazione lineare.
• Dimensione del nucleo, dimensione dell'immagine e caratteristica della matrice associata.

• Vari modi per determinare nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
• Uso della matrice associata per calcolare immagini e controimmagini di vettori.
• Autovettori e autovalori.
• Ricerca di autovalori: l'equazione det(Ax-I)=0.

• Il polinomio caratteristico.
• Autospazi e loro dimensione.
• Relazione tra la molteplicità di un autovalore e la dimensione dell'autospazio.
• Basi di autovettori.
• Applicazioni lineari semplici.
• Criterio fondamentale di diagonalizzabilità.
• Considerazioni sulle molteplicità degli autovalori.
• Lineare indipendenza degli autovettori.
• Matrici diagonalizzabili e loro diagonalizzazione.
• Esempi di matrici diagonalizzabili e non.
• Ricerca di autovalori con MatLab.

• Matrici diagonalizzabili.
• Un'applicazione: potenze di matrici diagonalizzabili.
• Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio.
• Il vettore (B-A).
• Distanza tra due punti.
• Rappresentazione parametrica di una retta.

• Retta passante per due punti.
• Punto medio, punto simmetrico e divisione di un segmento in parti uguali.
• Rette parallele.
• Intersezione tra due rette (cambiare il parametro !).
• Angoli tra due rette nel piano e nello spazio.
• Rette ortogonali: differenze tra piano e spazio.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nel piano.

• Rette ortogonali nello spazio.
• Retta perpendicolare e incidente da un punto esterno a una retta.
• Rappresentazione cartesiana di una retta nel piano.
• Osservazione sulle rappresentazioni cartesiane e parametriche.
• Distanza di un punto da una retta nel piano.
• Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio.

• Esercitazione scritta su applicazioni lineari e diagonalizzazione. Testo e soluzione in PDF
• Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio: casi particolari.
• Rappresentazione cartesiana di un piano.
• Piani particolari.
• Intersezione di due piani.
• Fasci di piani.
• Piano contenente una retta e un punto.
• Piani paralleli.
• Rette e piani ortogonali.
• Proiezione di un punto su una retta.

• Proiezione di un punto su un piano.
• Distanza di un punto da un piano.
• Proiezione di una retta su un piano.
• Prodotto vettoriale in V₃.
• Piano contenente due rette incidenti.
• Piano contenente due rette parallele.
• Rette giacenti su un piano.

• Rette sghembe: distanza.
• Rette sghembe: punti di minima distanza.
• Circonferenza nel piano: riconoscimento, centro e raggio.
• Circonferenza nel piano: retta tangente in un punto.
• Circonferenza nel piano: rette tangenti da un punto esterno.
• Circonferenza per tre punti nel piano.
• Sfere.
• Piano tangente a una sfera.
• Circonferenza nello spazio: centro e raggio.
• Asse di una circonferenza.
• Retta tangente a una circonferenza in un suo punto.
• Sfere contenenti una data circonferenza.
• Cenno sulle coniche nel piano: parabole, ellissi, iperboli.