Lezioni di Geometria 1 Anno accademico 2001-2002 (primo semestre)

Lezione di Lunedì 24-9-2001

tre ore

• Equazioni: equazioni in una e due incognite.
• Richiami sugli insiemi numerici N,Z,Q,R.
• Interpretazione insiemistica delle equazioni.
• Richiami sul prodotto cartesiano di insiemi.
• Sistemi di equazioni.
• Interpretazione insiemistica dei sistemi di equazioni.
• Sistemi lineari. Generalità e notazioni.
• Matrici associate ad un sistema lineare.
• Soluzioni di un sistema lineare.

• Le operazioni elementari.
• Algoritmo di Gauss per la riduzione di un sistema lineare.
• Pivot di una matrice.
• Sistemi lineari con e senza soluzioni.
• Numero di soluzioni un sistema lineare.
• Risoluzione di sistemi lineari: incognite pivotali.
• Algoritmo retrogrado di Gauss per rislvere i sistemi lineari.

• Matrici ridotte e totalmente ridotte.
• Matrici equivalenti.
• Teorema di Gauss: ogni matrice è riducibile.
• Equazioni e sistemi di equazioni con parametro.
• Esempi di sistemi lineari con parametro.
• Matrici: definizioni e notazioni.
• Somma di matrici e sue proprietà.
• Prodotto tra matrice e scalare e sue proprietà.

• Sistemi lineari con parametro: altri esempi.
• Possibilità di scambiare le colonne in sistemi lineari.
• Sistemi omogenei e struttura delle loro soluzioni.
• Combinazioni lineari.
• Le matrici come spazi vettoriali.
• Prodotto tra una matrice e una matrice colonna.

• Sistemi lineari interpretati come prodotti per matrice colonna.
• Prodotto tra matrici in generale.
• Proprietà del prodotto tra matrici.
• Non commutatività del prodotto tra matrici.
• Non validità della legge di annullamento del prodotto tra matrici.
• Matrice identica.
• Matrici invertibili e non.
• Criteri di invertibilità.
• Algoritmo di inversione di una matrice.
• Cenno sulla complessità computazionale.

• Algebra matriciale tra matrici quadrate.
• Determinante di una matrice.
• Primo teorema di Laplace.
• Proprietà del determinante: variazione per operazioni elementari.
• Determinante di una matrice triangolare superiore.
• Matrici a blocchi e loro determinante.

• Matrici trasposte e teoremi di Laplace per colonne.
• Prodotto di matrici invertibili e teorema di Binet.
• Sottomatrici e minori.
• Numero di minori di una matrice.
• Definizione intrinseca di caratteristica.
• Equivalenza delle varie definizioni di caratteristica.
• Esempi di calcolo della caratteristica mediante la definizione intrinseca.
• Teorema e regola di Cramer.

• Teorema di Rouché-Capelli.
• Secondo teorema di Laplace e un altro modo di calcolare l'inversa.
• Uso del teorema di Rouché-Capelli per lo studio di certi sistemi lineari.
• Righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.

• Numeri complessi: definizione.
• Somma e prodotto di numeri complessi.
• Coniugato di un numero complesso.
• Rappresentazione di numeri complessi nel piano di Argand-Gauss.
• Modulo di un numero complesso.
• Modulo e argomenti di un numero complesso.
• Calcolo dell'argomento di un numero complesso.
• Forma trigonometrica di un numero complesso.

• Il piano di Argand-Gauss.
• Formula di Eulero.
• Forma esponenziale di un numero complesso.
• Prodotto di numeri complessi in forma esponenziale.
• Formula di DeMoivre.
• Radici n-esime di un numero complesso.
• Rappresentazione grafica delle radici n-esime.
• Esempi di radici n-esime.

• Esempi di sottoinsiemi di C.
• Cenno sui polinomi in una indeterminata.
• Molteplicità di una radice.
• Equazioni polinomiali in C.
• Teorema di Ruffini e teorema fondamentale dell'algebra.
• Radici di un polinomio reale.
• Spazi vettoriali: definizione e primi esempi.
• Combinazioni lineari di vettori.
• Vettori linearmente dipendenti.

• Vettori linearmente indipendenti.
• Esempi di vettori linearmente dipendenti e non.
• Varie proprietà dei vettori linearmente dipendenti.
• Criterio di lineare indipendenza in Kⁿ
• Il sottoinsieme L{v₁,...,v _n}.

• Metodo degli scarti successivi.
• Sottospazi.
• Estrazione di base e completamento a base.
• Il sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo.
• L{v₁,...,v _n} è un sottospazio.
• Sistemi di generatori.
• Basi di uno spazio vettoriale.
• Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori.
• Dimensione di uno spazio vettoriale.

• Proprietà delle basi.
• Esempi di basi di sottospazi.
• Coordinate di un vettore rispetto a una base.
• Vettori geometrici: introduzione.
• Segmenti orientati ed equipollenza.
• Definizione di vettore geometrico come classe di equipollenza.
• Somma e prodotto per scalare di vettori geometrici.
• V₃ è un R-spazio vettoriale.

• Modulo di un vettore.
• Prodotto scalare tra vettori geometrici.
• Angolo tra due vettori.
• Basi ortonormali.
• Coordinate rispetto a una base ortonormale.
• Operazioni tra vettori in coordinate in V₃.
• Prodotto scalare mediante le coordinate.

• Esercizi su basi, vettori ortogonali e completamento a base.
• Esercizi su sottospazi e loro dimensione.

• Applicazioni tra insiemi: definizioni ed esempi.
• Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.
• Applicazioni definite mediante forme lineari.
• Nucleo di un applicazione lineare.
• Matrice associata ad un'applicazione lineare f:Kⁿ -> K^m tramite le basi canoniche.
• Applicazione lineare associata a una matrice.
• Immagine di un applicazione lineare.

• Dimensione del nucleo, dimensione dell'immagine e caratteristica della matrice associata.
• Vari modi per determinare nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
• Uso della matrice associata per calcolare immagini di vettori.
• Applicazioni lineari soddisfacenti determinati criteri.
• Applicazioni definite su una base.

• Autovalori, autovettori, autospazi.
• Ricerca di autovalori e di autovettori.
• Il polinomio caratteristico.

• Il problema della diagonalizzazione: applicazioni semplici.
• Basi di autovettori.
• Relazione tra la molteplicità di un autovalore e la dimensione dell'autospazio.
• Matrici diagonalizzabili e loro diagonalizzazione.
• Considerazioni sulle molteplicità degli autovalori.
• Criterio fondamentale di diagonalizzabilità.

• Un'applicazione: potenze di matrici diagonalizzabili.
• Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio.
• Il vettore (B-A).
• Distanza tra due punti.
• Rappresentazione parametrica di una retta.
• Retta passante per due punti.
• Punto medio, punto simmetrico e divisione di un segmento in parti uguali.
• Rette parallele.
• Intersezione tra due rette (cambiare il parametro !).
• Angoli tra due rette nel piano e nello spazio.
• Rette ortogonali: differenze tra piano e spazio.

• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nel piano.
• Rappresentazione cartesiana di una retta nel piano.
• Osservazione sulle rappresentazioni cartesiane e parametriche.
• Distanza di un punto da una retta nel piano.
• Rette ortogonali nello spazio.
• Retta perpendicolare e incidente da un punto esterno a una retta.
• Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio.

• Rappresentazione cartesiana di un piano.
• Piani particolari.
• Intersezione di due piani.
• Fasci di piani.
• Piano contenente una retta e un punto.
• Piani paralleli.
• Rette e piani ortogonali.
• Proiezione di un punto su una retta nello spazio.
• Proiezione di un punto su un piano.
• Distanza di un punto da un piano.
• Piano contenente due rette incidenti.
• Piano contenente due rette parallele.
• Rette giacenti su un piano.
• Rette sghembe: perpendicolare comune.

• Circonferenza nel piano: riconoscimento, centro e raggio.
• Circonferenza nel piano: retta tangente in un punto.
• Circonferenza nel piano: rette tangenti da un punto esterno.
• Sfere.
• Piano tangente a una sfera.
• Circonferenza nello spazio: centro e raggio.
• Asse di una circonferenza.
• Circonferenza generata dalla rotazione di un punto attorno a un asse.
• Retta tangente a una circonferenza in un suo punto.
• Sfere contenenti una data circonferenza.