Lezioni di Geometria 1 Anno accademico 2003-2004 (primo semestre)

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Lunedì 22-9-2003

tre ore

• Equazioni: equazioni in una e due incognite.
• Richiami sugli insiemi numerici N,Z,Q,R.
• Richiami sul prodotto cartesiano di due insiemi, le n-uple.
• Sistemi di equazioni.
• Rappresentazione delle soluzioni delle equazioni sulla retta e nel piano.
• Sistemi lineari. Generalità e notazioni.
• Matrici associate ad un sistema lineare.
• L'algoritmo di Gauss.
• Soluzioni di un sistema lineare.

• Pivot di una matrice.
• Sistemi lineari con e senza soluzioni.
• Numero di soluzioni un sistema lineare.
• Risoluzione di sistemi lineari: incognite pivotali.
• Algoritmo retrogrado di Gauss per risolvere i sistemi lineari.
• Matrici ridotte e totalmente ridotte.
• Teorema di Gauss: ogni matrice è riducibile.
• Sistemi omogenei e struttura delle loro soluzioni.
• Combinazioni lineari.

• Equazioni e sistemi di equazioni con parametro.
• Esempi di sistemi lineari con parametro.
• Possibilità di scambiare le colonne in sistemi lineari.
• Matrici: definizioni e notazioni.
• Somma di matrici e sue proprietà.
• Prodotto tra matrice e scalare e sue proprietà.
• Combinazioni lineari.

• Le matrici come spazi vettoriali.
• Prodotto tra una matrice e una matrice colonna.
• Sistemi lineari interpretati come prodotti per matrice colonna.
• Prodotto tra matrici in generale.
• Proprietà del prodotto tra matrici.

• Non commutatività del prodotto tra matrici.
• Non validità della legge di annullamento del prodotto tra matrici.
• Matrice identica.
• Matrici invertibili e non.
• Algoritmo per il calcolo della matrice inversa.
• Caratterizzazioni delle matrici invertibili.
• Determinante di una matrice.
• Primo teorema di Laplace.
• Proprietà del determinante: variazione per operazioni elementari.
• Determinante di una matrice triangolare superiore.
• Matrici a blocchi e loro determinante.

• Prima esercitazione scritta di geometria.
• Algebra tra matrici quadrate.
• Secondo teorema di Laplace e un altro modo di calcolare l'inversa.

• Prodotto di matrici invertibili e teorema di Binet.
• Matrici trasposte e teoremi di Laplace per colonne.
• Sottomatrici e minori.
• Numero di minori di una matrice.
• Definizione intrinseca di caratteristica.
• Equivalenza delle varie definizioni di caratteristica.
• Esempi di calcolo della caratteristica mediante la definizione intrinseca.
• Teorema di Rouché-Capelli.
• Teorema e regola di Cramer.
• Cenno sulla complessità computazionale.

• Uso del teorema di Rouché-Capelli per lo studio di certi sistemi lineari.
• Righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.
• Esempi di righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.

• Spazi vettoriali: definizione ed esempi.
• Combinazioni lineari di vettori.
• Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
• Esempi di vettori linearmente dipendenti e non.
• Spazio generato da una successione di vettori.
• Il sottoinsieme L{v₁,...,v _n}.
• Teorema degli scarti successivi.
• Sistemi di generatori.

• Seconda esercitazione scritta di geometria.
• Sottospazi: definizione ed esempi.

• L{v₁,...,v _n} è un sottospazio.
• Il sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo.
• Basi di uno spazio vettoriale.
• Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori.
• Dimensione di uno spazio vettoriale.
• Estrazione di base e completamento a base.

• Dimensione dei sottospazi.
• Criterio di lineare indipendenza in Kⁿ
• Coordinate di un vettore rispetto a una base.

• Numeri complessi: definizione.
• Somma e prodotto di numeri complessi.
• Coniugato di un numero complesso.
• Rappresentazione di numeri complessi nel piano di Argand-Gauss.
• Modulo di un numero complesso.
• Modulo e argomenti di un numero complesso.
• Calcolo dell'argomento di un numero complesso.
• Forma trigonometrica di un numero complesso.
• Formula di Eulero.
• Forma esponenziale di un numero complesso.

• Prodotto di numeri complessi in forma esponenziale.
• Formula di DeMoivre.
• Radici n-esime di un numero complesso.
• Rappresentazione grafica delle radici n-esime.
• Esempi di radici n-esime.

• Proprietà dei polinomi in una indeterminata.
• Molteplicità di una radice.
• Teorema di Ruffini e teorema fondamentale dell'algebra.
• Radici di un polinomio reale.
• Vettori geometrici: introduzione.
• Segmenti orientati ed equipollenza.
• Definizione di vettore geometrico come classe di equipollenza.
• Somma e prodotto per scalare di vettori geometrici.
• V₃ è un R-spazio vettoriale.
• Significato geometrico della dipendenza lineare.
• Modulo di un vettore.
• Normalizzazione di un vettore.

• Terza esercitazione scritta di geometria.
• Prodotto scalare tra vettori geometrici.
• Angolo tra due vettori.
• Basi ortonormali.

• Coordinate rispetto a una base ortonormale.
• Operazioni tra vettori in coordinate in V₃.
• Prodotto scalare mediante le coordinate.
• Calcolo dell'angolo tra due vettori.
• Prodotto vettoriale tra vettori geometrici.
• Proprietà del prodotto vettore.
• Prodotto vettore mediante le coordinate.
• Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio.
• Il vettore (B-A).
• Distanza tra due punti.
• Rappresentazione parametrica di una retta.

• Rette parallele.
• Retta passante per due punti.
• Punto medio, punto simmetrico e divisione di un segmento in parti uguali.
• Rette ortogonali.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nel piano.
• Rette ortogonali: differenze tra piano e spazio.
• Rette ortogonali nello spazio.
• Retta perpendicolare e incidente da un punto esterno a una retta.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nello spazio.

• Intersezione tra due rette (cambiare il parametro !).
• Punto simmetrico rispetto a una retta.
• Rappresentazione cartesiana di una retta nel piano.
• Osservazione sulle rappresentazioni cartesiane e parametriche.
• Distanza di un punto da una retta nel piano.
• Rappresentazione cartesiana di un piano.
• Piani particolari.
• Piani paralleli.

• Quarta esercitazione scritta di geometria.
• Posizione reciproca di retta e piano.
• Rette e piani ortogonali.
• Rette e piani paralleli.

• Problemi su una retta e un piano.
• Intersezione di due piani.
• Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio.
• Fasci di piani.
• Piano contenente una retta e un punto.
• Rette sghembe: perpendicolare comune e punti di minima distanza.
• Circonferenza nel piano: riconoscimento, centro e raggio.
• Circonferenza nel piano: retta tangente da un punto esterno.
• Sfere.
• Piano tangente a una sfera.

• Circonferenza nello spazio: centro e raggio.
• Asse di una circonferenza.
• Circonferenza generata dalla rotazione di un punto attorno a un asse.
• Retta tangente a una circonferenza in un suo punto.
• Sfere contenenti una data circonferenza.
• Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.
• Applicazioni lineari f:Kⁿ -> K^m definite mediante forme lineari.
• Matrice associata ad un'applicazione lineare f:Kⁿ -> K^m.
• Applicazione lineare associata a una matrice.
• Uso della matrice associata per calcolare immagini di vettori.

• Quinta esercitazione scritta di geometria.
• Applicazioni lineari: nucleo e immagine.
• Dimensione del nucleo, dimensione dell'immagine e caratteristica della matrice associata.
• Teoremi sulla dimensione del nucleo e dell'immagine.
• Autovalori e autovettori.

• Ricerca di autovalori mediante det(A-£I).
• Il polinomio caratteristico.
• Autospazi e loro dimensione.
• Calcolo di autospazi.
• Diagonalizzazione di una matrice.
• Il problema della diagonalizzazione: applicazioni semplici.
• Criterio fondamentale di diagonalizzabilità.
• Relazione tra la molteplicità di un autovalore e la dimensione dell'autospazio.
• Autovalori di molteplicità 1.

• Applicazioni lineari definite su una base.
• Matrice associata ad un'applicazione lineare definita su una base.
• Teorma spettrale: diagonalizzabilità delle matrici simmetriche.
• Un'applicazione della diagonalizzazione: potenze di una matrice.