Lezioni di Geometria 1 Anno accademico 2004-2005 (primo semestre)

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Lunedì 20-9-2004

tre ore

• Equazioni: equazioni in una e due incognite.
• Richiami sugli insiemi numerici N,Z,Q,R.
• Richiami sul prodotto cartesiano di due insiemi, le n-uple.
• Sistemi di equazioni.
• Rappresentazione delle soluzioni delle equazioni sulla retta e nel piano.
• Sistemi lineari. Generalità e notazioni.
• Matrici associate ad un sistema lineare.

• L'algoritmo di Gauss.
• Soluzioni di un sistema lineare.
• Pivot di una matrice.
• Sistemi lineari con e senza soluzioni.
• Numero di soluzioni un sistema lineare.
• Risoluzione di sistemi lineari: incognite pivotali.

• Operazioni elementari
• Matrici ridotte e totalmente ridotte.
• Algoritmo retrogrado di Gauss per risolvere i sistemi lineari.
• Sistemi omogenei e struttura delle loro soluzioni.
• Equazioni e sistemi di equazioni con parametro.
• Esempi di sistemi lineari con parametro.
• Possibilità di scambiare le colonne in sistemi lineari.

• Matrici: definizioni e notazioni.
• Somma di matrici e sue proprietà.
• Combinazioni lineari.
• Prodotto tra matrice e scalare e sue proprietà.
• Prodotto tra una matrice e una matrice colonna.
• Sistemi lineari interpretati come prodotti per matrice colonna.

• Prodotto tra matrici in generale.
• Proprietà del prodotto tra matrici.
• Non commutatività del prodotto tra matrici.
• Non validità della legge di annullamento del prodotto tra matrici.
• Matrice identica.
• Matrici invertibili e non.
• Algoritmo per il calcolo della matrice inversa.
• Caratterizzazioni delle matrici invertibili.
• Cenno sulla complessità computazionale.
• Algebra tra matrici quadrate.

• Determinante di una matrice.
• Primo teorema di Laplace.
• Proprietà del determinante: variazione per operazioni elementari.
• Determinante di una matrice triangolare superiore.
• Considerazioni sulla caratteristrica.
• Prodotto di matrici invertibili e teorema di Binet.
• Matrici trasposte e teorema di Laplace per colonne.
• Sottomatrici e loro numero.

• Definizione intrinseca di caratteristica.
• Equivalenza delle varie definizioni di caratteristica.
• Esempi di calcolo della caratteristica mediante la definizione intrinseca.
• Teorema di Rouché-Capelli.
• Teorema e regola di Cramer.
• Uso del teorema di Rouché-Capelli per lo studio di certi sistemi lineari.
• Righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.

Non svolta a seguito della delibera assunta da parte del Consiglio di Facoltà di Ingegneria in data 8 ottobre 2004,
motivata dalla necessità di un approfondimento da parte delle varie componenti universitarie,
sulle problematiche relative al disegno di legge sullo stato giuridico dei docenti universitari.
Il docente ha presenziato in aula spiegando le motivazioni della protesta e ripondendo a domande
su questa questione e su argomenti del corso.

Lunedì 18-10-2004

tre ore

• Righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.
• Numeri complessi: definizione.
• Somma e prodotto di numeri complessi.
• Coniugato di un numero complesso.
• Rappresentazione di numeri complessi nel piano di Argand-Gauss.
• Modulo di un numero complesso.
• Argomento di un numero complesso.
• Calcolo dell'argomento di un numero complesso.
• Forma trigonometrica di un numero complesso.

• Formula di Eulero.
• Forma esponenziale di un numero complesso.
• Prodotto di numeri complessi in forma esponenziale.
• Formula di DeMoivre.
• Radici n-esime di un numero complesso.
• Rappresentazione grafica delle radici n-esime.
• Esempi di radici n-esime.
• Proprietà dei polinomi in una indeterminata.
• Molteplicità di una radice.
• Teorema di Ruffini.

• Teorema fondamentale dell'algebra.
• Radici di un polinomio reale.
• Spazi vettoriali: definizione ed esempi.
• Combinazioni lineari di vettori.
• Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
• Esempi di vettori linearmente dipendenti e non.

• Sottospazi: definizione ed esempi.
• Il sottoinsieme L{v₁,...,v _n}.
• Sistemi di generatori.
• Il sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo.

• Proprietà dei vettori linearmente indipendenti e dei generatori.
• Basi di uno spazio vettoriale.
• Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori.
• Dimensione di uno spazio vettoriale.
• Teorema degli scarti successivi.
• Estrazione di base e completamento a base.
• Dimensione dei sottospazi.

• Coordinate di un vettore rispetto a una base.
• Criterio di lineare indipendenza in Kⁿ
• Vettori geometrici: introduzione.
• Segmenti orientati ed equipollenza.
• Definizione di vettore geometrico come classe di equipollenza.
• Somma di vettori geometrici e sue proprietà

• Prodotto per scalare di vettori geometrici.
• V₃ è un R-spazio vettoriale.
• Significato geometrico della dipendenza lineare.
• Modulo di un vettore.
• Normalizzazione di un vettore.
• Prodotto scalare tra vettori geometrici.
• Angolo tra due vettori.
• Basi ortonormali.
• Coordinate rispetto a una base ortonormale.
• Operazioni tra vettori in coordinate in V₃.
• Prodotto scalare mediante le coordinate.

• Calcolo dell'angolo tra due vettori.
• Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio.
• Il vettore (B-A).
• Distanza tra due punti.
• Rappresentazione parametrica di una retta.
• Rette parallele.
• Retta passante per due punti.
• Punto medio, punto simmetrico e divisione di un segmento in parti uguali.

• Rette ortogonali.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nel piano.
• Rette ortogonali: differenze tra piano e spazio.
• Rette ortogonali nello spazio.
• Retta perpendicolare e incidente da un punto esterno a una retta.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nello spazio.
• Intersezione tra due rette (cambiare il parametro !).
• Rappresentazione cartesiana di una retta nel piano.
• Osservazione sulle rappresentazioni cartesiane e parametriche.
• Distanza di un punto da una retta nel piano.
• Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio.

• Rappresentazione cartesiana di un piano.
• Piani particolari.
• Piani paralleli.
• Intersezione di due piani.
• Il prodotto vettoriale.
• Vettore direzionale di una retta intersezione di due piani.

• Posizione reciproca di retta e piano.
• Rette e piani ortogonali.
• Rette e piani paralleli.
• Fasci di piani.
• Piano contenente una retta e un punto.
• Piano contenente due rette incidenti e due rette parallele.
• Rette sghembe: perpendicolare comune e punti di minima distanza.

• Circonferenza nel piano: riconoscimento, centro e raggio.
• Circonferenza nel piano: retta tangente da un punto esterno.
• Sfere.
• Piano tangente a una sfera.

• Asse di una circonferenza.
• Circonferenza generata dalla rotazione di un punto attorno a un asse.
• Sfere contenenti una data circonferenza.
• Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.
• Applicazioni lineari definite mediante forme lineari.
• Matrice associata ad un'applicazione lineare.
• Nucleo e immagine.
• Teoremi sulla dimensione del nucleo e dell'immagine e caratteristica della matrice associata.
• Autovalori e autovettori.
• Ricerca di autovalori mediante det(A-xI).
• Il polinomio caratteristico.
• Applicazioni diagonalizzabili.

• Calcolo di autovettori.
• Esempi di applicazioni diagonalizzabili e non.
• Autospazi e loro dimensione.
• Calcolo di autospazi.
• Diagonalizzazione di una matrice.

• Criterio fondamentale di diagonalizzabilità.
• Relazione tra la molteplicità di un autovalore e la dimensione dell'autospazio.
• Autovalori di molteplicità 1.
• Applicazioni lineari definite su una base.
• Matrice associata ad un'applicazione lineare definita su una base.
• Definizione di applicazioni lineari soddisfacenti criteri.