Lezioni di Geometria 1 per Ingegneria gestionale Anno accademico 2005-2006 (primo semestre)

  Vai alle ultime lezioni  

• Equazioni: equazioni in una e due incognite.
• Richiami sugli insiemi numerici N,Z,Q,R.
• Richiami sul prodotto cartesiano di due o più insiemi, le n-uple.
• Sistemi di equazioni.
• Rappresentazione delle soluzioni delle equazioni sulla retta e nel piano.
• Sistemi lineari. Generalità e notazioni.
• Matrici associate ad un sistema lineare.

• L'algoritmo di Gauss.
• Ricerca dei pivot.
• Soluzioni di un sistema lineare.
• Risoluzione di sistemi lineari: incognite pivotali.
• Sistemi lineari con e senza soluzioni.
• Numero di soluzioni un sistema lineare.

• Operazioni elementari
• Matrici ridotte e totalmente ridotte.
• Algoritmo retrogrado di Gauss per risolvere i sistemi lineari.
• Sistemi omogenei e struttura delle loro soluzioni.
• Equazioni e sistemi di equazioni con parametro.
• Esempi di sistemi lineari con parametro.
• Matrici: definizioni e notazioni.
• Somma di matrici e sue proprietà.
• Prodotto tra matrice e scalare e sue proprietà.
• Combinazioni lineari.

• Prodotto tra una matrice e una matrice colonna.
• Sistemi lineari interpretati come equazioni matriciali.
• Prodotto tra matrici in generale.
• Proprietà del prodotto tra matrici.
• Non commutatività del prodotto tra matrici.
• Non validità della legge di annullamento nel prodotto tra matrici.
• Matrice identica.

• Matrici invertibili e non.
• Algoritmo per il calcolo della matrice inversa.
• Caratterizzazioni delle matrici invertibili.
• Algebra tra matrici quadrate.
• Determinante di una matrice.
• Primo teorema di Laplace.
• Proprietà del determinante: variazione per operazioni elementari.
• Determinante di una matrice triangolare superiore.
• Proprietà del determinante righe che sono combinazione lineare delle altre.

• Prodotto di matrici invertibili e teorema di Binet.
• Matrici trasposte e teorema di Laplace per colonne.
• Matrici a blocchi e loro proprietà.
• Secondo teorema di laplace e un'altro modo per calcolare l'inversa.
• Considerazioni sulla caratteristica.
• Teorema di Rouché-Capelli.
• Sottomatrici e minori.
• Definizione intrinseca di caratteristica.
• Esempi di calcolo della caratteristica mediante la definizione intrinseca.

• Equivalenza delle varie definizioni di caratteristica.
• Righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.
• Teorema e regola di Cramer.
• Cenno sulla complessità computazionale.
• Numeri complessi: definizione.
• Somma e prodotto di numeri complessi.
• Coniugato di un numero complesso.
• Rappresentazione di numeri complessi nel piano di Argand-Gauss.
• Modulo di un numero complesso.

• Argomento di un numero complesso.
• Calcolo dell'argomento di un numero complesso.
• Forma trigonometrica di un numero complesso.
• Sottoinsiemi del piano complesso.
• Formula di Eulero.
• Forma esponenziale di un numero complesso.
• Prodotto di numeri complessi in forma esponenziale.
• Formula di DeMoivre.
• Radici n-esime di un numero complesso.

• Rappresentazione grafica delle radici n-esime.
• Esempi di radici n-esime.
• Proprietà dei polinomi in una indeterminata.
• Teorema di Ruffini.
• Molteplicità di una radice.
• Teorema fondamentale dell'algebra.
• Radici di un polinomio reale.

• Decomposizione in fattori irriducibili di polinomi a coefficienti complesssi o reali.
• Spazi vettoriali: definizione ed esempi.
• Combinazioni lineari di vettori.
• Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
• Proprietà dei vettori linearmente dipendenti.
• Esempi di vettori linearmente dipendenti e non.
• Il sottoinsieme L{v₁,...,v _n}.
• Sistemi di generatori.
• Il sistema canonico.

• Proprietà dei sistemi di generatori.
• Sottospazi: definizione ed esempi.
• Il sottospazio L{v₁,...,v _n}.
• Il sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo.
• Proprietà dei vettori linearmente indipendenti e dei generatori.
• Il teorema degli scarti successivi.
• Basi di uno spazio vettoriale.

• Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori.
• Dimensione di uno spazio vettoriale.
• Esempi di basi e calcolo di dimensione.
• Proprietà dei vettori linearmente indipendenti e dei generatori.
• Criterio di lineare indipendenza in Kⁿ.
• Estrazione di base e completamento a base.

Non effettuata per motivi di sicurezza e ordine delle autorità

• Esempi di verifica della lineaare indipendenza e del calcolo di polinomi
• Vettori geometrici: introduzione.
• Segmenti orientati ed equipollenza.
• Definizione di vettore geometrico come classe di equipollenza.
• Somma di vettori geometrici e sue proprietà
• Prodotto per scalare di vettori geometrici.
• V₃ è un R-spazio vettoriale.
• Combinazioni lineari tra vettori geometrici.
• Significato geometrico della dipendenza lineare.
• Modulo di un vettore.
• Normalizzazione di un vettore.

• Prodotto scalare tra vettori geometrici.
• Angolo tra due vettori.
• Basi ortonormali.
• Coordinate rispetto a una base ortonormale.
• Operazioni tra vettori in coordinate in V₃.
• Prodotto scalare mediante le coordinate.
• Calcolo dell'angolo tra due vettori.
• Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio.
• Il vettore (B-A).
• Distanza tra due punti.

• Rappresentazione parametrica di una retta.
• Rette parallele.
• Retta passante per due punti.
• Punto medio e divisione di un segmento in parti uguali.
• Rette ortogonali.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nel piano.
• Rette ortogonali: differenze tra piano e spazio.
• Rette ortogonali nel piano.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nel piano.
• Rette ortogonali nello spazio.
• Retta perpendicolare e incidente da un punto esterno a una retta.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nello spazio.
• Intersezione tra due rette (cambiare il parametro !).
• Il prodotto vettoriale.

• Rappresentazione cartesiana di una retta nel piano.
• Vettore normale e coefficiente angolare.
• Osservazione sulle rappresentazioni cartesiane e parametriche.
• Proprietà del prodotto vettoriale.
• Prodotto scalare mediante le coordinate.

• Rappresentazione cartesiana di un piano.
• Piani particolari.
• Piani paralleli.
• Intersezione di due piani.
• Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio.
• Fasci di piani.
• Piano per tre punti.
• Piano contenente una retta e un punto.
• Rette e piani ortogonali.
• Proiezione ortogonale di un punto su un piano.

• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nello spazio.
• Posizione reciproca di due rette nello spazio.
• Posizione reciproca di retta e piano.
• Rette e piani ortogonali.
• Piano contenente una retta e un punto.
• Distanza di un punto da un piano.
• Piano contenente due rette parallele e due rette incidenti.
• Rette sghembe: perpendicolare comune e punti di minima distanza.

• Circonferenza nel piano: riconoscimento, centro e raggio.
• Circonferenza nel piano: retta tangente in un punto e circonferenza per tre punti.
• Sfere.
• Piano tangente a una sfera in un punto.
• Piani di un fascio tangenti a una sfera.
• Circonferenza nello spazio: rappresentazione cartesiana.
• Circonferenza nello spazio: riconoscimento, centro e raggio.
• Asse di una circonferenza.
• Circonferenza generata dalla rotazione di un punto attorno a un asse.
• Circonferenza nello spazio: retta tangente in un punto.

• Determinazione di una circonferenza nello spazio dati centro e una retta tangente.
• Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.
• Applicazioni lineari definite mediante forme lineari.
• Matrice associata ad un'applicazione lineare.
• Uso e proprietà della matrice.
• Nucleo di un'applicazione lineare.
• Autovalori e autovettori.

• Ricerca di autovalori mediante det(A-xI).
• Il polinomio caratteristico.
• Calcolo di autovettori.
• Autospazi e loro dimensione.
• Relazione tra la molteplicità di un autovalore e la dimensione dell'autospazio.
• Calcolo di autospazi.
• Autovalori di molteplicità 1.
• Matrici diagonalizzabili.
• Esempi di applicazioni diagonalizzabili e non.
• Diagonalizzazione di una matrice.

• Criterio fondamentale di diagonalizzabilità.
• Altri esempi di applicazioni diagonalizzabili e non.
• Un'applicazione della diagonalizzazione: potenze di una matrice.

Torna all'inizio