Lezioni di Geometria 1 per Ingegneria gestionale Anno accademico 2006-2007 (primo semestre)

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• Equazioni: equazioni in una e due incognite.
• Richiami sugli insiemi numerici N,Z,Q,R.
• Richiami sul prodotto cartesiano di due o più insiemi, le n-uple.
• Rappresentazione deli numeri reali su una retta.
• Sistemi di equazioni.
• Rappresentazione delle soluzioni delle equazioni sulla retta e nel piano.
• Sistemi lineari. Generalità e notazioni.
• Matrici associate ad un sistema lineare.

• L'algoritmo di Gauss.
• Ricerca dei pivot.
• Soluzioni di un sistema lineare.
• Risoluzione di sistemi lineari: incognite pivotali.
• Algoritmo retrogrado di Gauss per risolvere i sistemi lineari.
• Sistemi lineari con e senza soluzioni.
• Numero di soluzioni un sistema lineare.
• Sistemi omogenei e struttura delle loro soluzioni.

• Operazioni elementari.
• Matrici ridotte.
• Equazioni e sistemi di equazioni con parametro.
• Esempi di sistemi lineari con parametro.
• Matrici: definizioni e notazioni.
• Somma di matrici e prodotto tra matrice e scalare.

• Proprietà della somma e del prodotto matrice-scalare
• Combinazioni lineari.
• Matrici triangolari e diagonali.
• Prodotto tra una matrice e una matrice colonna.
• Sistemi lineari interpretati come equazioni matriciali.
• Prodotto tra matrici in generale.

• Proprietà del prodotto tra matrici.
• Non commutatività del prodotto tra matrici.
• Non validità della legge di annullamento nel prodotto tra matrici.
• Matrice identica.
• Matrici invertibili e non.
• Algoritmo per il calcolo della matrice inversa.
• Caratterizzazioni delle matrici invertibili.
• Algebra tra matrici quadrate.
• Prodotto di matrici invertibili.
• Determinante di una matrice 2x2 e 3x3.

• Determinante di una matrice qualunque.
• Primo teorema di Laplace.
• Proprietà del determinante: variazione per operazioni elementari.
• Determinante di una matrice triangolare superiore.
• Matrici totalmente ridotte.
• Matrici trasposte e teorema di Laplace per colonne.
• Matrici a blocchi e matrici triangolari a blocchi e loro determinante.

• Primo compito su sistemi e matrici.
• Prodotto di matrici invertibili e teorema di Binet.
• Sottomatrici e minori.
• Definizione intrinseca di caratteristica.
• Considerazioni sulla caratteristica.
• Esempi di calcolo della caratteristica mediante la definizione intrinseca.
• Equivalenza delle varie definizioni di caratteristica.
• Teorema di Rouché-Capelli.
• Teorema e regola di Cramer.
• Righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.

• Numeri complessi: definizione.
• Somma e prodotto di numeri complessi.
• Coniugato di un numero complesso.
• Rappresentazione di numeri complessi nel piano di Argand-Gauss.
• Modulo di un numero complesso.
• Argomento di un numero complesso.
• Calcolo dell'argomento di un numero complesso.

• Esercizi su definizione intrinseca di caratteristica e su
  righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.

• Calcolo dell'argomento di un numero complesso.
• Forma trigonometrica di un numero complesso.
• Formula di Eulero.
• Forma esponenziale di un numero complesso.
• Prodotto di numeri complessi in forma esponenziale.
• Formula di DeMoivre.
• Radici n-esime di un numero complesso.

• Rappresentazione grafica delle radici n-esime.
• Proprietà dei polinomi in una indeterminata.
• Teorema di Ruffini.
• Molteplicità di una radice.
• Teorema fondamentale dell'algebra.
• Radici di un polinomio reale.
• Spazi vettoriali: definizione ed esempi.
• Combinazioni lineari di vettori.
• Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.

• Proprietà dei vettori linearmente dipendenti.
• Esempi di vettori linearmente dipendenti e non.
• Il sistema canonico.
• Criterio di lineare indipendenza in Kⁿ.
• Sistemi di generatori.
• Proprietà dei sistemi di generatori.
• Sottospazi: definizione ed esempi.
• Il sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo.

• Il sottoinsieme L{v₁,...,v _n}.
• L{v₁,...,v _n} è un sottospazio
• Il teorema degli scarti successivi.
• Basi di uno spazio vettoriale.
• Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori.
• Dimensione di uno spazio vettoriale.
• Estrazione di base e completamento a base.
• Proprietà dei vettori linearmente indipendenti e dei generatori.
• Esempi di basi e calcolo di dimensione.

• Secondo compito su numeri complessi, caratteristiche i e vettori linearmente indipendenti.
• La matrice delle coordinate di una successione di vettori.
• Coordinate di un vettore rispetto a una base.
• Estrazione di base e completamento a base.
• Vettori geometrici: introduzione.
• Segmenti orientati ed equipollenza.
• Definizione di vettore geometrico come classe di equipollenza.
• Somma di vettori geometrici e sue proprietà

• Prodotto per scalare di vettori geometrici.
• V₃ è un R-spazio vettoriale.
• Combinazioni lineari tra vettori geometrici.
• Significato geometrico della dipendenza lineare.
• Modulo di un vettore.
• Normalizzazione di un vettore.
• Prodotto scalare tra vettori geometrici.
• Angolo tra due vettori.
• Basi ortonormali.
• Coordinate rispetto a una base ortonormale.
• Operazioni tra vettori in coordinate in V₃.
• Prodotto scalare mediante le coordinate.
• Calcolo dell'angolo tra due vettori.

• Il prodotto vettoriale.
• Proprietà del prodotto vettoriale.
• Prodotto vettoriale mediante le coordinate.
• Prodotto misto.
• Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio.
• Il vettore (B-A).
• Distanza tra due punti.
• Rappresentazione parametrica di una retta.
• Retta passante per due punti.

• Punto medio e divisione di un segmento in parti uguali.
• Rette parallele.
• Intersezione tra due rette (cambiare il parametro !).
• Rette ortogonali: differenze tra piano e spazio.
• Rette ortogonali nel piano.
• Angoli tra due rette nel piano e nello spazio.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nel piano.
• Rette ortogonali nello spazio.
• Retta perpendicolare e incidente da un punto esterno a una retta.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nello spazio.

• Rappresentazione cartesiana di una retta nel piano.
• Osservazione sulle rappresentazioni cartesiane e parametriche.
• Vettore normale e coefficiente angolare.
• Distanza retta-punto nel piano e problemi relativi.
• Fascio di rette nel piano
• Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio.
• Rette particolari nello spazio.
• Rappresentazione cartesiana di un piano.
• Intersezione di un piano e una retta.

• Piani particolari.
• Piani paralleli.
• Intersezione di due piani.
• Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio.
• Piano contenente una retta e un punto.
• Posizione reciproca di retta e piano.
• Rette e piani paralleli.
• Rette e piani ortogonali.
• Proiezione ortogonale di un punto su un piano.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nello spazio.

• Fasci di piani.
• Piano contenente una retta e un punto.
• Piano per tre punti.
• Proiezione ortogonale di un punto su un piano.
• Posizione reciproca di due rette nello spazio.
• Posizione reciproca di retta e piano.
• Rette e piani paralleli.
• Distanza di un punto da un piano.
• Piano contenente due rette incidenti.
• Rette sghembe: perpendicolare comune e punti di minima distanza.
• Punto simmetrico rispetto a una retta.

• Proiezione di una retta su un piano.
• Angolo di una retta e un piano.
• Rette giacenti su un piano.
• Problemi sui fasci di piani.
• Le matrici come applicazioni lineari.
• Proprietà delle applicazioni lineari.
• Nucleo di un'applicazione lineare.
• Autovettori e autovalori.

• Terzo compito su spazi vettoriali, vettori geometrici e geometria analitica dei punti e delle rette
• Ricerca di autovalori: il polinomio caratteristico.
• Un esempio: rotazioni e simmetrie nel piano
• Lineare indipendenza degli autovettori.
• Applicazioni diagonalizzabili e basi di autovettori.

• Il problema matriciale della diagonalizzazione.
• Autospazi e loro dimensione.
• Relazione tra la dimensione di un autospazio e la molteplicità dell'autovalore.
• Autovalori di molteplicità 1.
• Lineare indipendenza delle basi di autospazi.
• Criterio fondamentale di diagonalizzabilità.
• Esempi di diagonalizzazione.

• Applicazioni diagonalizzabili e no, esempi.
• Un'applicazione della diagonalizzazione: potenze di una matrice.
• Circonferenze nel piano e problemi collegati.
• Sfere.
• Circonferenza nello spazio: rappresentazione cartesiana.
• Determinazione del centro e del raggio di una circonferenza.
• Asse di una circonferenza.
• Circonferenza generata dalla rotazione di un punto attorno a un asse.

• Retta tangente a una circonferenza nello spazio
• Sfere contenenti una data circonferenza.
• Altri problemi su sfera e circonferenza.

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