Lezioni di Geometria 1 per Ingegneria gestionale Anno accademico 2007-2008 (primo semestre)

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• Equazioni: equazioni in una e due incognite.
• Richiami sugli insiemi numerici N,Z,Q,R.
• Richiami sul prodotto cartesiano di due o più insiemi, le n-uple.
• Rappresentazione dei numeri reali su una retta.
• Sistemi di equazioni.
• Rappresentazione delle soluzioni delle equazioni sulla retta e nel piano.
• Sistemi lineari. Generalità e notazioni.

• Matrici associate ad un sistema lineare.
• L'algoritmo di Gauss.
• Ricerca dei pivot.
• Soluzioni di un sistema lineare.
• Risoluzione di sistemi lineari: incognite pivotali.
• Algoritmo retrogrado di Gauss per risolvere i sistemi lineari.
• Sistemi lineari con e senza soluzioni.
• Numero di soluzioni un sistema lineare.

• Operazioni elementari.
• L'algoritmo di Gauss.
• Matrici ridotte e totalmente ridotte.
• Equazioni e sistemi di equazioni con parametro.

• Esempi di sistemi lineari con parametro.
• Matrici: definizioni e notazioni.
• Somma di matrici e prodotto tra matrice e scalare.
• Proprietà della somma e del prodotto matrice-scalare
• Combinazioni lineari.

• Prodotto tra una matrice e una matrice colonna.
• Sistemi lineari interpretati come equazioni matriciali.
• Prodotto tra matrici in generale.
• Proprietà del prodotto tra matrici.
• Sistemi omogenei e struttura delle loro soluzioni.
• Non commutatività del prodotto tra matrici.
• Non validità della legge di annullamento nel prodotto tra matrici.
• Matrice identica.
• Matrici triangolari e diagonali.
• Matrici invertibili e non.
• Matrici trasposte

• Caratterizzazione delle matrici invertibili.
• Algoritmo per il calcolo della matrice inversa.
• Prodotto di matrici invertibili.
• Il determinante: definizione eun esempio di calcolo

• Primo teorema di Laplace.
• Proprietà del determinante: variazione per operazioni elementari.
• Determinante di una matrice triangolare superiore.
• Matrici trasposte e teorema di Laplace per colonne.
• Matrici a blocchi e matrici triangolari a blocchi e loro determinante.
• Teorema di Binet.

• Primo compito su sistemi e matrici.
• Sottomatrici e minori.
• Definizione intrinseca di caratteristica.
• Considerazioni sulla caratteristica.
• Esempi di calcolo della caratteristica mediante la definizione intrinseca.
• Equivalenza delle varie definizioni di caratteristica.
• Algebra matriciale tra matrici quadrate

• Esempi di calcolo della caratteristica mediante la definizione intrinseca.
• Equivalenza delle varie definizioni di caratteristica.
• Teorema di Rouché-Capelli.
• Teorema e regola di Cramer.
• Righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.
• Algebra tra matrici quadrate.

• Numeri complessi: definizione.
• Somma e prodotto di numeri complessi.
• Coniugato di un numero complesso.
• Rappresentazione di numeri complessi nel piano di Argand-Gauss.
• Modulo di un numero complesso.
• Argomento di un numero complesso.
• Calcolo dell'argomento di un numero complesso.

• Forma trigonometrica di un numero complesso.
• Formula di Eulero.
• Forma esponenziale di un numero complesso.
• Prodotto di numeri complessi in forma esponenziale.
• Formula di DeMoivre.
• Radici n-esime di un numero complesso.
• Rappresentazione grafica delle radici n-esime.
• Proprietà dei polinomi in una indeterminata.
• Teorema di Ruffini.
• Molteplicità di una radice.
• Teorema fondamentale dell'algebra.

• Radici di un polinomio reale.
• Problemi vari sui numeri complessi.

• Spazi vettoriali: definizione ed esempi.
• Combinazioni lineari di vettori.
• Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
• Proprietà dei vettori linearmente dipendenti.
• Esempi di vettori linearmente dipendenti e non.
• Il sistema canonico.
• Il sottoinsieme L{v₁,...,v _n}.
• Sistemi di generatori.

• Proprietà dei sistemi di generatori.
• Sottospazi: definizione ed esempi.
• L{v₁,...,v _n} è un sottospazio
• Il sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo.
• Basi di uno spazio vettoriale.
• Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori.
• Dimensione di uno spazio vettoriale.

• Il teorema degli scarti successivi.
• Estrazione di base e completamento a base.
• Proprietà dei vettori linearmente indipendenti e dei generatori.
• Esempi di basi e calcolo di dimensione.

• Secondo compito su algebra lineare e numeri complessi.
• La matrice delle coordinate di una successione di vettori.
• Vettori geometrici: introduzione.
• Segmenti orientati ed equipollenza.
• Definizione di vettore geometrico come classe di equipollenza.

• Somma di vettori geometrici e sue proprietà
• Prodotto per scalare di vettori geometrici.
• V₃ è un R-spazio vettoriale.
• Combinazioni lineari tra vettori geometrici.
• Significato geometrico della dipendenza lineare.
• Modulo di un vettore.
• Normalizzazione di un vettore.
• Prodotto scalare tra vettori geometrici.
• Angolo tra due vettori.
• Basi ortonormali.
• Coordinate rispetto a una base ortonormale.
• Operazioni tra vettori in coordinate in V₃.
• Prodotto scalare mediante le coordinate.
• Calcolo dell'angolo tra due vettori.

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