Lezioni di Matematica I   Anno accademico 2001/02 (primo semestre)

Lezioni di Analisi Prof. F. Parodi

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Lezioni di Geometria Prof. F. Odetti

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Lezioni di Geometria

Prof. Francesco Odetti

Lezione di Martedì 25-9-2001

due ore

• Sistemi di equazioni.
• Richiami sul prodotto cartesiano di insiemi.
• Interpretazione insiemistica dei sistemi di equazioni.
• Sistemi lineari. Generalità e notazioni.
• Matrici associate ad un sistema lineare.
• Soluzioni di un sistema lineare.
• Operazioni elementari di scambio e somma.

• Algoritmo di Gauss per la riduzione di un sistema lineare.
• Pivot di una sistema.
• Sistemi ridotti e matrici ridotte per righe.
• Sistemi lineari con e senza soluzioni.
• Risoluzione di sistemi lineari: incognite pivotali.

• Matrici equivalenti per righe.
• Algoritmo retrogrado di Gauss: sistemi totalmente ridotti.
• Numero di soluzioni un sistema lineare.
• Scelta del pivot nella riduzione gaussiana: vantaggi della pivotizzazione parziale.

• Matrici: definizioni e notazioni.
• Somma di matrici e sue proprietà.
• Prodotto tra matrice e scalare e sue proprietà.
• Combinazioni lineari.
• Le matrici come spazi vettoriali.
• Sistemi omogenei e struttura delle loro soluzioni.
• Prodotto tra una matrice e una matrice colonna.

• Sistemi lineari interpretati come prodotti per matrice colonna.
• Prodotto tra matrici in generale.
• Proprietà del prodotto tra matrici.
• Non commutatività del prodotto tra matrici.
• Non validità della legge di annullamento del prodotto tra matrici.
• Matrice identica.

• Matrici invertibili e non.
• Caratterizzazioni delle matrici invertibili.
• Algoritmo per il calcolo della matrice inversa.
• Cenno sulla complessità computazionale.
• Determinante: definizione e prime proprietà
• Primo teorema di Laplace per righe.

• Proprietà del determinante: variazione per operazioni elementari.
• Determinante di una matrice triangolare superiore.
• Matrici a blocchi.
• Matrici trasposte e teoremi di Laplace per colonne.
• Prodotto di matrici invertibili e teorema di Binet.

• Sottomatrici e minori.
• Numero di minori di una matrice.
• Definizione intrinseca di caratteristica.
• Equivalenza delle varie definizioni di caratteristica.
• Teorema e regola di Cramer.
• Teorema di Rouché-Capelli.
• Secondo teorema di Laplace e un altro modo di calcolare l'inversa.
• Righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.

• Numeri complessi: motivazioni per l'introduzione.
• Definizione di C.
• Somma e prodotto di numeri complessi.
• Modulo e argomenti di un numero complesso.
• Calcolo dell'argomento di un numero complesso anche mediante calcolatrice.

• Il piano di Argand-Gauss.
• Forma trigonometrica di un numero complesso.
• Formula di Eulero.
• Forma esponenziale di un numero complesso.
• Prodotto di numeri complessi in forma esponenziale.
• Formula di DeMoivre.
• L'equazione xⁿ=a e struttura delle sue soluzioni.

• Radici dell'unità
• Richiami sui polinomi in una indeterminata
• Polinomi come espressioni formali, polinomi come funzioni di variabile reale ed equazioni polinomiali.
• Teorema di Ruffini o del resto.
• Radici di un polinomio.
• Molteplicità di una radice.
• Teorema fondamentale dell'algebra.
• Difficoltà del reperimento delle radici dei polinomi.
• Polinomi reali e loro radici coniugate.

• Spazi vettoriali.
• Combinazioni lineari di vettori.
• Vettori linearmente dipendenti.
• Vettori linearmente indipendenti: proprietà varie.
• L'insieme L{v₁,...,v _n}.
• Sistemi di generatori.

• Sottospazi.
• Il sottospazio L{v₁,...,v _n}.
• Sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo.
• Basi.
• Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori.
• Dimensione di uno spazio vettoriale.
• Proprietà dei sistemi di generatori.
• Estrazione di base.
• Completamento a base.

• Proprietà delle basi.
• Dimensione dei sottospazi.
• Coordinate di un vettore rispetto a una base.

• Matrice delle coordinate di una successione di vettori.
• Vettori geometrici: introduzione.
• Segmenti orientati ed equipollenza.
• Definizione di vettore geometrico come classe di equipollenza.
• Somma e prodotto per scalare di vettori geometrici.
• V₃ è un R-spazio vettoriale.
• Modulo di un vettore.
• Prodotto scalare tra vettori geometrici.

• Angolo tra due vettori.
• Basi ortonormali.
• Coordinate rispetto a una base ortonormale.
• Operazioni tra vettori in coordinate in V₃.
• Proiezione di un vettore.
• Prodotto scalare mediante le coordinate.
• Prodotto vettore.

• Prodotto vettore mediante le coordinate.
• Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.
• Applicazioni definite mediante forme lineari.
• Nucleo di un applicazione lineare.
• Matrice associata ad un'applicazione lineare f:Kⁿ -> K^m tramite le basi canoniche.
• Applicazione lineare associata a una matrice.
• Immagine di un applicazione lineare.

• Vari modi per determinare nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
• Uso della matrice associata per calcolare immagini di vettori.
• Applicazioni lineari soddisfacenti determinati criteri.
• Applicazioni definite su una base.

• Autovalori, autovettori, autospazi.
• Ricerca di autovalori e di autovettori.
• Il polinomio caratteristico.
• Il problema della diagonalizzazione: applicazioni semplici.
• Basi di autovettori.

• Matrici diagonalizzabili e loro diagonalizzazione.
• Relazione tra la molteplicità di un autovalore e la dimensione dell'autospazio.
• Considerazioni sulle molteplicità degli autovalori.
• Criterio fondamentale di diagonalizzabilità.
• Qualche applicazione della diagonalizzazione: potenze di matrici.

• Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio.
• Il vettore (B-A).
• Rappresentazione parametrica di una retta.
• Retta passante per due punti.
• Punto medio, punto simmetrico e divisione di un segmento in parti uguali.

• Rette parallele.
• Angoli tra due rette
• Rette ortogonali.
• Rette incidenti, rette sghembe.

• Retta perpendicolare e incidente a una retta nello spazio.
• Rappresentazione cartesiana di un piano.
• Vettore normale a un piano.
• Piani paralleli.
• Piani particolari.
• Intersezione di piani.
• Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio.

• Fasci di piani.
• Distanza punto-piano.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nel piano e nello spazio.
• Distanza punto-retta.

• Circonferenza nel piano: equazione e retta tangente in un punto.
• Sfera.
• Posizione di un piano rispetto a una sfera
• Rappresentazione cartesiana di una circonferenza.
• Centro, raggio e asse di una circonferenza.
• Rotazione di un punto attorno a una retta.
• Retta tangente a una circonferenza nello spazio in un punto.

Lezione del 24-09-2001

due ore

• Presentazione corso.
• Numeri e proprietà.
• Rappresentazione decimale e rappresentazione sulla retta.

• Operazioni con i numeri reali.
• Errori.
• Esempi di funzioni, rappresentazione mediante tabelle e grafici.

• Funzioni elementari.
• Parte intera, valore assoluto.
• Proprietà, grafici, esercizi vari.
• Le potenze: x², grafico e proprietà.
• Le potenze pari.

• La potenza x³, grafico e proprietà.
• Le potenze dispari.
• Grafico e segno del trinomio di secondo grado.

• Definizione di funzione.
• Funzioni pari, dispari, crescenti, decrescenti, monotone.
• Le funzioni radice quadrata e cubica.

• Funzioni invertibili e funzione inversa: definizioni, proprietà grafico.
• Monotonia e invertibilità.
• Esempi.

• Funzione composta: esempi.
• Potenze con esponente razionale.
• Esponenziale: proprietà e grafici.
• Funzione logaritmo.

• Proprietàdella funzione logaritmo.
• Calcolo di , maggiorazione dell'errore.
• Il problema della linearizzazione di una funzione.
• Funzione lineare, pendenza.