Lezioni di Matematica I   Anno accademico 2002/03 (primo semestre)

Lezioni di Analisi Prof. F. Parodi

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Lezioni di Geometria

Prof. Francesco Odetti

Lezione di Mercoledì 25-9-2002

due ore

• Sistemi di equazioni.
• Prodotto cartesiano di insiemi: l'insieme Aⁿ.
• Interpretazione insiemistica dei sistemi di equazioni.
• Sistemi lineari. Generalità e notazioni.
• Matrici associate ad un sistema lineare.
• Soluzioni di un sistema lineare.

• Algoritmo di Gauss per la riduzione di un sistema lineare.
• Pivot di una sistema.
• Sistemi lineari con e senza soluzioni.
• Risoluzione di sistemi lineari: incognite pivotali.

• Le tre operazioni elementari su una matrice.
• Matrici ridotte per righe e sistemi ridotti.
• Matrici totalmente ridotte e algoritmo retrogrado di Gauss.
• Sistemi lineari omogenei.
• Matrici: definizioni e notazioni.
• Somma di matrici e sue proprietà.
• Prodotto tra matrice e scalare e sue proprietà.
• Combinazioni lineari.

• Le matrici come spazi vettoriali.
• Prodotto tra una matrice e una matrice colonna.
• Sistemi lineari interpretati come prodotti per matrice colonna.
• Prodotto tra matrici in generale.
• Proprietà del prodotto tra matrici.

• Non commutatività del prodotto tra matrici.
• Non validità della legge di annullamento del prodotto tra matrici.
• Matrice identica.
• Matrici invertibili e non.
• Caratterizzazioni delle matrici invertibili.
• Algoritmo per il calcolo della matrice inversa.
• Determinante: definizione e prime proprietà
• Primo teorema di Laplace per righe.
• Proprietà del determinante: variazione per operazioni elementari.

• Determinante di una matrice triangolare superiore.
• Cenno sulla complessità computazionale.
• Matrici trasposte e teoremi di Laplace per colonne.
• Prodotto di matrici invertibili e teorema di Binet.
• La caratteristica di una matrice.

• Varie definizioni di caratteristica.
• Sottomatrici e minori.
• Numero di minori di una matrice.
• Definizione intrinseca di caratteristica.
• Equivalenza delle varie definizioni di caratteristica.
• Teorema di Rouché-Capelli.
• Teorema e regola di Cramer.
• Terzo teorema di Laplace e matrici a blocchi.
• Secondo teorema di Laplace e un altro modo di calcolare l'inversa.
• Righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.

• Numeri complessi: definizione.
• Somma e prodotto di numeri complessi.
• Coniugato di un numero complesso.

• Modulo e argomenti di un numero complesso.
• Calcolo dell'argomento di un numero complesso.
• Forma trigonometrica di un numero complesso.
• Il piano di Argand-Gauss.
• Formula di Eulero.
• Forma esponenziale di un numero complesso.
• Prodotto di numeri complessi in forma esponenziale.
• Formula di DeMoivre.
• Radici n-esime di un numero complesso.
• Rappresentazione grafica delle radici n-esime.
• Polinomi in una indeterminata.

• Proprietà dei polinomi in una indeterminata.
• Molteplicità di una radice.
• Teorema di Ruffini e teorema fondamentale dell'algebra.
• Radici di un polinomio reale.
• Spazi vettoriali: definizione ed esempi.
• Combinazioni lineari di vettori.
• Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.

• Il sottoinsieme L{v₁,...,v _n}.
• Sistemi di generatori.
• Sottospazi.
• L{v₁,...,v _n} è un sottospazio.
• Il sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo.
• Metodo degli scarti successivi.
• Basi di uno spazio vettoriale.
• Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori.
• Dimensione di uno spazio vettoriale.

• Proprietà delle basi di uno spazio vettoriale.
• Estrazione di base e completamento a base.
• Criterio di lineare indipendenza in Kⁿ

• Coordinate di un vettore rispetto a una base.
• Vettori geometrici: introduzione.
• Segmenti orientati ed equipollenza.
• Definizione di vettore geometrico come classe di equipollenza.
• Somma e prodotto per scalare di vettori geometrici.
• V₃ è un R-spazio vettoriale.
• Significato geometrico della dipendenza lineare.

• Modulo di un vettore.
• Prodotto scalare tra vettori geometrici.
• Angolo tra due vettori.
• Basi ortonormali.
• Coordinate rispetto a una base ortonormale.
• Operazioni tra vettori in coordinate in V₃.

• Prodotto scalare mediante le coordinate.
• Normalizzazione di un vettore.
• Calcolo dell'angolo tra due vettori.
• Prodotto vettoriale tra vettori geometrici.
• Proprietà del prodotto vettore.
• Prodotto vettore mediante le coordinate.
• Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio.
• Il vettore (B-A).
• Distanza tra due punti.
• Rappresentazione parametrica di una retta.
• Intersezione tra due rette (cambiare il parametro !).

• Rette parallele.
• Retta passante per due punti.
• Punto medio, punto simmetrico e divisione di un segmento in parti uguali.
• Angoli tra due rette nel piano e nello spazio.
• Rette ortogonali nel piano
• Rette ortogonali: differenze tra piano e spazio.

• Rappresentazione cartesiana di una retta nel piano.
• Osservazione sulle rappresentazioni cartesiane e parametriche.
• Distanza di un punto da una retta nel piano.
• Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio.
• Rappresentazione cartesiana di un piano.
• Piani particolari.
• Piani paralleli.
• Intersezione di due piani.
• Fasci di piani.

• Rette e piani ortogonali.
• Rette e piani paralleli.
• Proiezione di un punto su una retta nello spazio.
• Proiezione di un punto su un piano.
• Rette giacenti su un piano.
• Rette sghembe: perpendicolare comune e punti di minima distanza.

• Circonferenza nel piano: riconoscimento, centro e raggio.
• Circonferenza nel piano: retta tangente in un punto.
• Circonferenza nel piano: circonferenza passante per tre punti.
• Sfere.
• Piano tangente a una sfera.
• Circonferenza nello spazio: centro e raggio.
• Asse di una circonferenza.
• Retta tangente a una circonferenza in un suo punto.
• Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.
• Applicazioni lineari f:Kⁿ -> K^m definite mediante forme lineari.
• Matrice associata ad un'applicazione lineare f:Kⁿ -> K^m.
• Applicazione lineare associata a una matrice.
• Uso della matrice associata per calcolare immagini di vettori.
• Nucleo di un applicazione lineare.

• Immagine di un applicazione lineare.
• Dimensione del nucleo, dimensione dell'immagine e caratteristica della matrice associata.
• Applicazioni lineari definite su una base.
• Matrice associata ad un'applicazione lineare definita su una base.
• Autovettori, autovalori.

• Ricerca di autovalori e di autovettori.
• Il polinomio caratteristico.
• Autospazi.
• Il problema della diagonalizzazione: applicazioni semplici.
• Basi di autovettori.
• Matrici diagonalizzabili e loro diagonalizzazione.
• Relazione tra la molteplicità di un autovalore e la dimensione dell'autospazio.
• Teorma spettrale: diagonalizzabilità delle matrici simmetriche.

• Criterio fondamentale di diagonalizzabilità.
• Lineare indipendenza degli autovettori.
• Autovalori di molteplicità 1.
• Un'applicazione della diagonalizzazione: potenze di una matrice.

Lezione del 23-09-2001

due ore