Lezioni di Matematica I   Anno accademico 2003/04 (primo semestre)

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Lezioni di Geometria

Prof. Francesco Odetti

Giovedì 25-9-2003

un'ora

• Sistemi lineari. Generalità e notazioni.
• Matrici associate ad un sistema lineare.
• Algoritmo di Gauss per la riduzione di un sistema lineare.
• Soluzioni di un sistema lineare.
• Le tre operazioni elementari su una matrice.
• Matrici ridotte per righe.

• Risoluzione di sistemi lineari: incognite pivotali.
• Numero di soluzioni di un sistema lineare.
• Matrici totalmente ridotte e algoritmo retrogrado di Gauss.
• Sistemi omogenei e struttura delle loro soluzioni.

• Matrici: definizioni e notazioni.
• Somma di matrici e sue proprietà.
• Prodotto tra matrice e scalare e sue proprietà.
• Combinazioni lineari.

• Prodotto tra una matrice e una matrice colonna.
• Sistemi lineari interpretati come prodotti per matrice colonna.
• Prodotto tra matrici in generale.
• Proprietà del prodotto tra matrici.
• Non commutatività del prodotto tra matrici.
• Non validità della legge di annullamento del prodotto tra matrici.
• Matrice identica.
• Matrici invertibili e non.
• Caratterizzazioni delle matrici invertibili.
• Algoritmo per il calcolo della matrice inversa.

• Determinante: definizione e prime proprietà
• Primo teorema di Laplace per righe.
• Proprietà del determinante: variazione per operazioni elementari.
• Determinante di una matrice triangolare superiore.

• Secondo teorema di Laplace e un altro modo di calcolare l'inversa.
• Cenno sulla complessità computazionale.
• Matrici trasposte e teoremi di Laplace per colonne.
• Prodotto di matrici invertibili e teorema di Binet.
• La caratteristica di una matrice.
• Varie definizioni di caratteristica.
• Sottomatrici e minori.
• Definizione intrinseca di caratteristica.
• Equivalenza delle varie definizioni di caratteristica.
• Teorema di Rouché-Capelli.

• Righe e colonne di una matrice che sono combinazione lineari delle altre.
• Teorema e regola di Cramer.
• Spazi vettoriali: definizioni.

• Spazi vettoriali: definizione ed esempi.
• Combinazioni lineari di vettori.
• Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
• Sistemi di generatori.
• Il sottoinsieme L{v₁,...,v _n}.

• Teorema degli scarti successivi.
• Sottospazi.

• L{v₁,...,v _n} è un sottospazio.
• Il sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo.
• Basi di uno spazio vettoriale.
• Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori.
• Dimensione di uno spazio vettoriale.

• Proprietà delle basi di uno spazio vettoriale.
• Estrazione di base e completamento a base.
• Criterio di lineare indipendenza in Kⁿ
• Coordinate di un vettore rispetto a una base.
• Numeri complessi: definizione.
• Somma e prodotto di numeri complessi.

• Coniugato di un numero complesso.
• Rappresentazione di numeri complessi nel piano di Argand-Gauss.
• Modulo di un numero complesso.
• Modulo e argomenti di un numero complesso.
• Calcolo dell'argomento di un numero complesso.
• Forma trigonometrica di un numero complesso.
• Formula di Eulero.
• Forma esponenziale di un numero complesso.

• Prodotto di numeri complessi in forma esponenziale.
• Formula di DeMoivre.
• Radici n-esime di un numero complesso.
• Rappresentazione grafica delle radici n-esime.
• Esempi di radici n-esime.

• Proprietà dei polinomi in una indeterminata.
• Molteplicità di una radice.
• Teorema di Ruffini e teorema fondamentale dell'algebra.
• Radici di un polinomio reale.

• Vettori geometrici: introduzione.
• Segmenti orientati ed equipollenza.
• Definizione di vettore geometrico come classe di equipollenza.
• Somma e prodotto per scalare di vettori geometrici.
• V₃ è un R-spazio vettoriale.
• Significato geometrico della dipendenza lineare.
• Modulo di un vettore.
• Normalizzazione di un vettore.
• Prodotto scalare tra vettori geometrici.

• Prodotto scalare tra vettori geometrici.
• Angolo tra due vettori.
• Basi ortonormali.
• Coordinate rispetto a una base ortonormale.
• Operazioni tra vettori in coordinate in V₃.
• Prodotto scalare mediante le coordinate.
• Calcolo dell'angolo tra due vettori.

• Prodotto vettoriale tra vettori geometrici.
• Proprietà del prodotto vettore.
• Prodotto vettore mediante le coordinate.
• Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio.
• Il vettore (B-A).
• Distanza tra due punti.
• Rappresentazione parametrica di una retta.
• Rette parallele.

• Retta passante per due punti.
• Punto medio, punto simmetrico e divisione di un segmento in parti uguali.
• Rette ortogonali.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nel piano.

• Rette ortogonali: differenze tra piano e spazio.
• Rette ortogonali nello spazio.
• Retta perpendicolare e incidente da un punto esterno a una retta.
• Proiezione ortogonale di un punto su una retta nello spazio.
• Intersezione tra due rette (cambiare il parametro !).
• Punto simmetrico rispetto a una retta.

• Rappresentazione cartesiana di un piano.
• Piani particolari.
• Piani paralleli.
• Quarta esercitazione scritta di geometria.
• Posizione reciproca di retta e piano.
• Rette e piani ortogonali.
• Rette e piani paralleli.
• Problemi su una retta e un piano.

• Problemi su una retta e un piano.
• Intersezione di due piani.
• Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio.
• Fasci di piani.
• Piano contenente una retta e un punto.
• Rette sghembe: perpendicolare comune e punti di minima distanza.
• Circonferenza nel piano: riconoscimento, centro e raggio.
• Sfere.
• Circonferenza nello spazio: centro e raggio.
• Asse di una circonferenza.
• Circonferenza generata dalla rotazione di un punto attorno a un asse.
• Retta tangente a una circonferenza in un suo punto.
• Sfere contenenti una data circonferenza.

• Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.
• Applicazioni lineari f:Kⁿ -> K^m definite mediante forme lineari.
• Matrice associata ad un'applicazione lineare f:Kⁿ -> K^m.
• Applicazione lineare associata a una matrice.
• Uso della matrice associata per calcolare immagini di vettori.

• Applicazioni lineari: nucleo e immagine.
• Dimensione del nucleo, dimensione dell'immagine e caratteristica della matrice associata.
• Teoremi sulla dimensione del nucleo e dell'immagine.
• Autovalori e autovettori.
• Ricerca di autovalori mediante det(A-£I).
• Il polinomio caratteristico.
• Autospazi e loro dimensione.
• Calcolo di autospazi.

• Diagonalizzazione di una matrice.
• Il problema della diagonalizzazione: applicazioni semplici.
• Criterio fondamentale di diagonalizzabilità.
• Relazione tra la molteplicità di un autovalore e la dimensione dell'autospazio.
• Autovalori di molteplicità 1.

• Applicazioni lineari definite su una base.
• Matrice associata ad un'applicazione lineare definita su una base.
• Teorma spettrale: diagonalizzabilità delle matrici simmetriche.
• Un'applicazione della diagonalizzazione: potenze di una matrice.

Lezione del 23-09-2001

due ore