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Programma del corso di Geometria 1 + Geometria 2 (per i corsi di Ingegneria Biomedica, Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni)
Anno accademico 1999-2000
Docente Dott. Anna Oneto
Riassunto
Sistemi lineari di equazioni ed algoritmo gaussiano. Matrici e determinanti. Fattorizzazione LU. Spazi vettoriali e vettori geometrici. Numeri complessi e polinomi. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Matrici associate a un'applicazione lineare. Autovalori e autovettori, diagonalizzazione. Matrici simmetriche, teorema spettrale, forme quadratiche. Proiettori e metodi iterativi,condizionamento. Sistemi di coordinate cartesiane. Geometria analitica nel piano e nello spazio. Coniche e quadriche. Coni, cilindri, superfici di rotazione.
Programma in dettaglio
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Richiami di teoria elementare degli insiemi -
Gli insiemi Z, Q, R - Unione, intersezione, prodotto cartesiano e differenza di insiemi - Applicazioni tra insiemi - Immagini e controimmagini in un'applicazione - Applicazioni iniettive,
surgettive e bigettive
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Polinomi e numeri complessi - Polinomi in una variabile - L'anello dei polinomi - Teorema di divisione e di Ruffini- Radici dei polinomi e loro molteplicita'- Il campo C dei numeri complessi - Rappresentazione algebrica, trigonometrica ed esponenziale di un numero complesso - Coniugio - Formula di Eulero - Formule di de Moivre - Teorema fondamentale dell'algebra - Polinomi a coefficienti reali - L'equazione x^n = a - Radici dell'unita'
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Sistemi e matrici - Sistemi lineari di equazioni - Matrici associate ad un sistema lineare - Le operazioni elementari e l'algoritmo di Gauss - Numero di soluzioni di un sistema - Sistemi omogenei - Matrici - Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare - Prodotto tra due matrici - Matrice identica - Matrici invertibili - Trasposta di una matrice - Matrici elementari - Matrici ridotte e totalmente ridotte - I teoremi di Gauss per matrici - Calcolo della matrice inversa -
Fattorizzazioni LU e PA=LU - Pivoting parziale e pivoting totale - Algoritmo di Gauss-Jordan - Cenno sulla complessita' computazionale - Determinante di una matrice quadrata - Variazione del determinante per trasformazioni elementari - Matrici inverse e determinante del prodotto di matrici - Il primo teorema di Laplace - Il secondo teorema di Laplace e calcolo dell'inversa mediante i complementi algebrici - Terzo teorema di Laplace: matrici a blocchi - Caratteristica di una matrice - Teorema di Rouche'-Capelli - Teorema e regola di Cramer - Caratteristica e combinazioni lineari di righe - Teorema di Kronecker.
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Spazi vettoriali - Definizione di spazio vettoriale - Combinazioni lineari - Dipendenza lineare L{v1,...,vn} di un insieme di vettori - Vettori linearmente indipendenti - Il metodo degli scarti successivi - Sottospazi - Esempi fondamentali di sottospazi: la dipendenza lineare di vettori, le soluzioni di un sistema omogeneo - Sistemi di generatori e spazi di tipo finito - Basi e dimensione - Coordinate di un vettore rispetto a una base - La matrice delle coordinate di una successione di vettori- Cambi base e matrici di passaggio.
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Vettori geometrici - Gli spazi vettoriali V2 e V3 - Somma e prodotto per uno scalare di vettori geometrici - Lineare indipendenza in V2 e V3- Modulo di un vettore geometrico - Prodotto scalare - Proiezione di un vettore geometrico su un altro - Prodotto vettore in V3- Prodotto misto (cenno).
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Trasformazioni lineari - Definizione di trasformazione lineare - Trasformazione lineare individuata da una matrice - Matrice individuata da una trasformazione lineare - Trasformazioni lineari assegnate mediante i valori su una base - Matrici associate rispetto a basi fissate - Nucleo ed immagine di una trasformazione lineare - Operazioni tra trasformazioni lineari - Composizione e potenze di trasformazioni - Trasformazioni invertibili -Matrici simili e trasformazioni semplici - Autovalori, autovettori ed autospazi - Polinomio caratteristico - Criterio di diagonalizzabilita'.
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Metodi numerici - Lo spazio euclideo Rn - Vettori ortogonali - Basi ortonormali - L'algoritmo di Gram-Schmidt - Sottospazi ortogonali - Complemento ortogonale di un sottospazio - Matrici ortogonali - Proiettori - Il metodo dei minimi quadrati: caso normale - Matrici e trasformazioni lineari autoaggiunte - Il teorema spettrale - Forme quadratiche reali - Matrici congruenti - Carattere di definizione di una forma quadratica - Teorema di Sylvester - Criterio dei minori principali - Metodi iterativi per i sistemi lineari: metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel - Metodi iterativi per gli autovalori: metodi delle potenze- Norme vettoriali e norme matriciali indotte- Numero di condizionamento di una matrice.
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Geometria nel piano - Coordinate cartesiane - Angolo orientato di due vettori - Cambi di coordinate: traslazione, rotazione, rototraslazione - Vettore per due punti - Rappresentazione parametrica di una retta - Retta per due punti - Divisione di un segmento in n parti uguali - Rappresentazione cartesiana di una retta - Parallelismo - Intersezione tra due rette - Distanza tra due punti - Angoli tra due rette - Coefficiente angolare di una retta - Rette ortogonali - Proiezione ortogonale di un punto su una retta - Punto simmetrico di un punto rispetto ad un punto o rispetto a una retta - Distanza punto-retta - Bisettrici di due rette - Circonferenza: rappresentazione cartesiana, centro e raggio - Retta tangente in un punto - Tangenti condotte da un punto esterno - Circonferenza passante per tre punti non allineati - Circonferenze tangenti a una retta in un punto - Rappresentazioni parametriche della circonferenza - Coniche in forma canonica- Riconoscimento di una conica - Riduzione a forma canonica di una conica non degenere.
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Geometria nello spazio - Coordinate e cambi di coordinate - Vettore per due punti - Rappresentazione parametrica di una retta - Retta per due punti - Punto medio di un segmento - Rappresentazione cartesiana di una retta - Parallelismo - Rappresentazione cartesiana di un piano - Piani paralleli - Piano passante per un punto con vettore normale n - Intersezione tra due piani - Fasci di piani - Allineamento e complanarita' di punti - Piano passante per tre punti non allineati - Relazioni tra una retta e un piano - Ortogonalita' tra retta e piano - Parallelismo tra retta e piano - Giacenza di una retta su un piano - Intersezione tra una retta e un piano - Relazioni tra due rette - Posizione reciproca di due rette - Intersezione tra due rette - Rette complanari - Rette sghembe - Rette ortogonali - Comune perpendicolare a due rette sghembe - Piano contenente una retta e un punto esterno - Proiezione ortogonale di un punto su una retta - Retta perpendicolare e incidente a una retta condotta da un punto esterno - Proiezione ortogonale di un punto o di una retta su un piano - Punto simmetrico di un punto rispetto a un punto (rispetto a una retta, rispetto a un piano) - Distanza tra due punti - Distanza punto-piano - Distanza punto-retta - Distanza tra due rette (parallele, sghembe)- Angoli tra due rette - Angoli tra due piani - Angolo tra una retta e un piano - Rappresentazione cartesiana, centro e raggio della sfera - Piano tangente a una sfera in un punto - Posizione di una retta rispetto a una sfera - Sfere tangenti a un piano in un punto - Piani di un fascio tangenti a una sfera - Intersezione tra un piano e una sfera - Circonferenza nello spazio - Asse di una circonferenza - Retta tangente a una circonferenza in un punto - Coni - Cilindri - Superficie di rotazione - Quadriche in forma canonica. Proiezioni ortogonali di linee sui piani coordinati.
Testo consigliato : Odetti-Raimondo - Elementi di algebra lineare e geometria analitica - ECIG