Programma del corso di Geometria 1 (per i corsi di Ingegneria Gestionale e diploma Logistica e Produzione)

Anni accademici 1998-1999 e 1999-2000

Riassunto

Programma in dettaglio

• Richiami di teoria elementare degli insiemi - Gli insiemi N,Z,R,C - Unione, intersezione, prodotto cartesiano - Applicazioni tra insiemi - Equazioni e sistemi di equazioni.
• Sistemi e matrici - Sistemi lineari di equazioni - Matrici associate ad un sistema lineare - Le operazioni elementari e l'algoritmo di Gauss - Numero di soluzioni di un sistema - Sistemi omogenei - Matrici - Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare - Prodotto tra due matrici - Matrice identica - Matrici invertibili - Trasposta di una matrice - Matrici ridotte e totalmente ridotte - Calcolo della matrice inversa - Determinante di una matrice quadrata - Variazione del determinante per trasformazioni elementari - Matrici inverse e determinante del prodotto di matrici - Il primo teorema di Laplace - Il secondo teorema di Laplace e calcolo dell'inversa mediante i complementi algebrici - Matrici a blocchi - Caratteristica di una matrice - Teorema di Rouche'-Capelli - Teorema e regola di Cramer - Caratteristica e combinazioni lineari di righe o colonne di una matrice.
• Spazi vettoriali - Definizione di spazio vettoriale - Combinazioni lineari - Dipendenza lineare L{v_1,...,v_n} di un insieme di vettori - Vettori linearmente indipendenti - Il metodo degli scarti successivi - Sottospazi - Esempi fondamentali di sottospazi: L{v_1,...,v_n}, le soluzioni di un sistema omogeneo - Sistemi di generatori e spazi di tipo finito - Basi e dimensione - Coordinate di un vettore rispetto a una base - La matrice delle coordinate di una successione di vettori.
• Vettori geometrici - Gli spazi vettoriali V_2 e V_3 - Somma e prodotto per uno scalare di vettori geometrici - Lineare indipendenza in V_2 e $V_3$ - Modulo di un vettore geometrico - Prodotto scalare - Proiezioni di un vettore geometrico - Prodotto vettore in V_3.
• Numeri complessi - Rappresentazione algebrica, trigonometrica ed esponenziale di un numero complesso - Il piano di Argand-Gauss - Coniugio - Formula di Eulero - Formule di de Moivre - radici n-esime di un numero complesso- Teorema fondamentale dell'algebra.
• Trasformazioni lineari - Definizione di trasformazione lineare - Trasformazione lineare individuata da una matrice - Matrice individuata da una trasformazione lineare - Trasformazioni lineari assegnate mediante i valori su una base - Nucleo ed immagine di una trasformazione lineare -Matrici simili e trasformazioni semplici - Autovalori, autovettori ed autospazi - Polinomio caratteristico - Criterio di diagonalizzabilità.
• Geometria nel piano - Coordinate cartesiane - Cambi di coordinate: traslazione - Vettore per due punti - Rappresentazione parametrica di una retta - Retta per due punti - Punto medio di un segmento - Punto simmetrico di un punto A rispetto a un punto M - Rappresentazione cartesiana di una retta - Parallelismo - Retta per un punto e parallela a una retta - Intersezione tra due rette - Distanza tra due punti - Angoli tra due rette - Rette ortogonali - Proiezione ortogonale di un punto su una retta - Punto simmetrico di un punto rispetto a una retta - Distanza punto-retta - Bisettrici di due rette - Circonferenza: rappresentazione cartesiana, centro e raggio - Retta tangente in un punto - Tangenti condotte da un punto esterno - Circonferenza passante per tre punti non allineati - Circonferenze tangenti a una retta in un punto - Rappresentazioni parametriche della circonferenza - Coniche: coniche in forma canonica - Parabola, iperbole, ellisse - Coniche senza termine rettangolare
• Geometria nello spazio - Coordinate e cambi di coordinate - Vettore per due punti - Rappresentazione parametrica di una retta - Retta per due punti - Punto medio di un segmento - Punto simmetrico di un punto A rispetto a un punto M - Rappresentazione cartesiana di una retta - Parallelismo - Retta per un punto e parallela a una retta -Rappresentazione cartesiana di un piano - Piani paralleli - Piano passante per un punto con vettore normale n - Intersezione tra due piani - Fasci di piani - Piano passante per tre punti non allineati - Relazioni tra una retta e un piano - Ortogonalità tra retta e piano - Parallelismo tra retta e piano - Giacenza di una retta su un piano - Intersezione tra una retta e un piano - Relazioni tra due rette - Posizione reciproca di due rette - Intersezione tra due rette - Rette complanari - Rette ortogonali - Piano contenente una retta e un punto esterno - Proiezione ortogonale di un punto su una retta - Retta perpendicolare e incidente a una retta condotta da un punto esterno - Proiezione ortogonale di un punto su un piano - Punto simmetrico di un punto rispetto a un piano - Comune perpendicolare a due rette sghembe - Distanza tra due punti - Distanza punto-piano - Distanza punto-retta - Distanza minima tra due rette sghembe - Angoli tra due rette - Rappresentazione cartesiana, centro e raggio della sfera - Piano tangente a una sfera in un punto - Posizione di una retta rispetto a una sfera - Sfere tangenti a un piano in un punto - Piani di un fascio tangenti a una sfera - Intersezione tra un piano e una sfera - Circonferenza nello spazio - Asse di una circonferenza - Retta tangente a una circonferenza in un punto