Lezioni di Geometria 2 Anno accademico 1998-99 (secondo semestre)

• Lezione del 2-3-1999 (due ore)
  • Coodinate cartesiane nel piano e nello spazio.
  • Coordinate di un vettore rappresentato da un dato segmento orientato.
  • Rappresentazione vettoriale o parametrica di una retta.
  • Diverse rappresentazioni parametriche di una retta.
  • Retta per due punti.
  • Punto medio, punto simmetrico e divisione di un segmento in varie parti.
  • Rette parallele.
  • Intersezione tra due rette (cambiare il parametro !).
• Lezione del 3-3-1999 (un'ora)
  • Distanza tra due punti.
  • Angoli tra due rette nel piano e nello spazio.
  • Rette ortogonali: differenze tra piano e spazio.
  • Rappresentazione cartesiana di una retta nel piano: vettore normale.
  • Significato della rappresentazione parametrica e della rappresentazione cartesiana di un oggetto in generale.
• Lezione del 10-3-1999 (un'ora)
  • Rappresentazione cartesiana di una retta nel piano: considerazioni varie.
  • Coefficiente angolare di una retta nel piano.
  • Proiezione ortogonale di un punto su di una retta nel piano.
  • Distanza punto retta nel piano.
  • Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio.
  • Rette particolari nello spazio.
• Lezione dell'11-3-1999 (un'ora)
  • Rappresentazione cartesiana del piano nello spazio
  • Vettore normale ad un piano.
  • Retta come intersezione di due piani.
  • Retta nello spazio: passaggio dalla rappresentazione cartesiana a quella parametrica.
  • Distanza di un punto da un piano.
• Lezione del 16-3-1999 (due ore)
  • Piani particolari: piani paralleli agli assi e piani coordinati.
  • Rappresentazione parametrica di un piano.
  • Piani paralleli.
  • Vettore direzionale di una retta intersezione di due piani.
  • Rette e piani paralleli, rette giacenti su piani, rette e piani ortogonali.
  • Proiezione ortogonale di un punto o di una retta su un piano.
  • Proiezione ortogonale di un punto su una retta: distanza di un punto da una retta.
  • Simmetria rispetto a un punto.
  • Simmetria rispetto a a un piano.
• Lezione del 17-3-1999 (un'ora)
  • Simmetria rispetto a a una retta.
  • Rette parallele, incidenti, sghembe.
  • Rette complanari.
  • Distanza tra due rette sghembe e comune perpendicolare.
  • Fasci di piani, varie forme.
• Lezione del 18-3-1999 (un'ora)
  • Ancora sui fasci di piani.
  • Angoli tra rette, tra piani e tra piano e retta.
  • La circonferenza nel piano: sua rappresentazione cartesiana.
  • Ricerca di centro e raggio di una circonferenza nel piano.
  • Il completamento dei quadrati.
  • Retta tangente a una circonferenza in un suo punto.
  • Rette tangenti a una circonferenza passanti per un punto esterno.
  • Circonferenze tangenti a una retta in un suo punto.
• Lezione del 22-3-1999 (un'ora)
  • Allineamento di tre punti nel piano.
  • Circonferenza passante per tre punti non allineati.
  • Rappresentazioni parametriche di una circonferenza.
  • Sfera nello spazio: rappresentazione cartesiana
  • Piano tangente a una sfera in un suo punto.
  • Posizione di una retta rispetto a una sfera: rette tangenti.
  • Rappresentazione cartesiana di una circonferenza come intersezione di un piano e una sfera.
• Lezione del 31-3-1999 (un'ora)
  • Rappresentazione cartesiana di una circonferenza come intersezione di un piano e una sfera.
  • Problemi vari sulla circonferenza nello spazio.
  • Definizione assai informale di retta tangente a una curva in un suo punto.
  • Retta tangente a una circonferenza.
  • Le coniche nel piano: definizioni generali.
  • Le coniche di tipo parabolico.
• Lezione dell'8-4-1999 (un'ora)
  • Le coniche di tipo ellittico e iperbolico.
  • Fuochi,direttrici, assi e centri di simmetrie delle coniche.
  • Esempi di coniche con equazioni canoniche o quasi.
• Lezione del 14-4-1999 (un'ora)
  • Traslazioni nel piano.
  • Studio di coniche con assi paralleli a quelli coordinati.
  • Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali: definizione.
  • Esempi di trasformazioni lineari.
• Lezione del 15-4-1999 (un'ora)
  • Trasformazioni lineari assegnate con forme lineari.
  • Applicazione lineare f:K^n -->K^m associata a una matrice tramite le basi canoniche.
  • Matrice associata a un'applicazione f:K^n -->K^m rispetto alle basi canoniche.
  • Applicazione lineare f:V -->W associata a una matrice tramite basi qualunque.
  • Matrice associata a un'applicazione f:V -->W rispetto a basi qualunque.
• Lezione del 21-4-1999 (un'ora)
  • Applicazioni lineari: proprietà varie.à
  • La matrice associata e suo uso.
  • Immagini e controimmagini in un'applicazione lineare.
  • Nucleo di un'applicazione e sue proprietà.
  • Dimensione del nucleo e rango della matrice associata.
  • Immagine di un'applicazione lineare e sue proprietà
• Lezione del 22-4-1999 (un'ora)
  • Dimensione dell'immagine di un'applicazione lineare.
  • Significato del rango della matrice associata a un'applicazione lineare.
  • Teorema su dimensione di nucleo e immagine in un'applicazione lineare.
  • Applicazioni lineari iniettive e surgettive.
  • Definizione di un'applicazione lineare mediante i trasformati di una base.
• Lezione del 28-4-1999 (un'ora)
  • Composizione di applicazioni lineari.
  • Endomorfismi.
  • È bene che la matrice associata ad un endomorfismo lo sia tramite una sola base.
  • Matrice associata alla composta di due applicazioni lineari.
  • Somma e prodotto per scalare di un'applicazione lineare.
  • L'applicazione lineare identica.
  • Matrici diagonali: il problema della diagonalizzazione.
• Lezione del 29-4-1999 (un'ora)
  • Autovettori, autovalori, autospazi.
  • Relazione tra la diagonalizzabilità di una matrice e gli autovalori.
  • Ricerca di autovalori: l'equazione caratteristica di una matrice.
• Lezione del 5-5-1999 (un'ora)
  • Il polinomio caratteristico.
  • Relazione tra matrici associate alla stessa applicazione lineare tramite basi diverse.
  • Matrici simili.
  • Invarianza del polinomio caratteristico per similitudine.
  • Relazione tra la molteplicità di un autovalore e la dimensione dell'autospazio.
• Lezione del 6-5-1999 (un'ora)
  • Considerazioni sulle molteplicità degli autovalori.
  • Lineare indipendenza degli autovettori.
  • Criterio fondamentale di diagonalizzabilità.
  • Esempi di matrici diagonalizzabili e non.
  • Uso della diagonalizzazione per il calcolo delle potenze di una matrice.
  • Cenno sull'uso della diagonalizzazione per la risoluzione di sistemi lineari di equazioni differenziali del primo ordine.
• Lezione del 19-5-1999 (un'ora)
  • Spazi dotati di prodotto scalare.
  • Prodotto scalare euclideo.
  • Norme negli spazi vettoriali e norme indotte da prodotto scalare.
  • Sistemi di vettori ortogonali, basi ortonormali.
  • Algoritmo di Gram-Schmidt.
  • Matrici ortogonali.
  • Spazi ortogonali e complemento ortogonale.
  • Applicazioni autoaggiunte e teorema spettrale.
• Lezione del 20-5-1999 (un'ora)
  • Forma matriciale del teorema spettrale.
  • Forme quadratiche: varie definizioni.
  • Forma canonica di una forma quadratica.
• Lezione del 26-5-1999 (un'ora)
  • Matrici simili, ortogonalmente simili e congruenti.
  • Teorema di inerzia di Sylvester.
  • Riduzione di una matrice a matrice diagonale congruente mediante algoritmo di Gauss.
  • Criterio dei minori principali.
• Lezione del 27-5-1999 (un'ora)
  • Rotazioni di coordinate nel piano, vari metodi.
  • Rototraslazioni.
  • Riduzione a forma canonica di una conica quando basti una rotazione.
• Lezione del 2-6-1999 (un'ora)
  • Ancora sulla riduzione a forma canonica di una conica.
  • Vari metodi per le parabole.
  • Varie sulle coniche: centro di simmetria, direzioni degli assi, asintoti.
  • Cenno sulle linee nel piano: rappresentazione cartesiana e parametrica.
  • Qualche esempio di curve nel piano.
• Lezione del 3-6-1999 (un'ora)
  • Superfici nello spazio.
  • Cilindri con assi paralleli agli assi coordinati.
  • Linee come intersezione di due superfici: studio mediante proiezione.
  • Coni con vertice nell'origine.
  • Cenno sulle quadriche.

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