Prerequisiti: i corsi di Matematica I e II.

Il programma di massima è il seguente:

• Spazi vettoriali con prodotto scalare. Basi ortonormali. Spazi vettoriali di funzioni.
• Metodi numerici e iterativi per la risoluzione di sistemi lineari. Sistemi lineari mal condizionati
• Coordinate cartesiane e polari e cambiamenti di riferimento nel piano e nello spazio. Linee e superfici nel piano e nello spazio: rappresentazione cartesiana e parametrica. Coni, cilindri, superfici rigate e di rotazione. Classificazione e riconoscimento di quadriche.
• Serie numeriche, serie di potenze e di Fourier, convergenza uniforme ed in media quadratica con elementi introduttivi all'analisi funzionale.
• Integrali tripli: domini normali rispetto a piani o rette. Calcolo con relative formule di riduzione ad integrali semplici in domini normali, cambiamento di variabili.
• Integrali di superficie: superfici orientabili, calcolo dell'area di una superficie, flusso di un campo vettoriale.
• Rotore e divergenza nello spazio: teoremi di Stokes e della divergenza. Integrazione numerica: metodo dei rettangoli, dei trapezi e di Simpson con stima dell'errore di approssimazione.
• Soluzioni approssimate di problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali ordinarie: metodo di Eulero con relativa convergenza, di Runge-Kutta.
• Equazioni lineari alle derivate parziali: classificazione, forme canoniche.
• Problemi al contorno ed ai valori iniziali, equazioni ellittiche, equazione delle onde e del calore.

Testi consigliati:

• per la parte di geometria

    Odetti-Raimondo - Elementi di algebra lineare e geometria analitica.

• per la parte di analisi

    R. A. Adams - Calcolo Differenziale 1 (integrazione numerica, serie)
    R. A. Adams - Calcolo Differenziale 2 (integrali tripli e di superficie)
    C.D. Pagan - S. Salsa - Analisi Matematica 2
  

• per gli esercizi

  Fascicoli con raccolte di esercizi svolti per la parte riguardante le serie numeriche, di potenze, di Fourier, gli integrali tripli e di superficie, reperibili presso la portineria della Fiera del Mare.

  Inoltre a lezione sarà distribuito materiale riguardante sia la parte teorica sia quella di esercizi.

Diario dell lezioni della parte di Geometria (prof. F.Odetti)

Venerdì 26-9-2003

• Richiami sugli spazi vettoriali.
• Spazi vettoriali non di dimensione finita.
• Basi degli spazi vettoriali.
• Basi di Hamel. esempio: i monomi in R^[x]
• Cenno sulle basi di Hilbert.
• Spazi vettoriali con prodotto scalare.
• Prodotto euclideo in Rⁿ
• Altri prodotti scalari in Rⁿ con matrice definita positiva.
• Norma indotta da un prodotto scalare.
• Proprietà della norma.
• Diseguaglianza di Cauchy-Schwartz con dimostrazione.
• Cauchy-Schwartz implica diseguaglianza triangolare.
• Norme in generale.
• Altre norme in Rⁿ: norma -1, norma-2, norma-inf.
• Esempio: {v in Rⁿ tali che ||v||=1}
• Prodotto scalare in C^o[a,b] mediante l'integrale.
• Norme in C^o[a,b]: norma dell'integrale e del sup.
• Sistemi ortonormali.
• Algoritmo di Gram-Schmidt: suo scopo.

• Algoritmo di Gram-Schmidt nelle due forme.
• Esempio: ortonormalizzazione dei polinomi in C^o[-1,1]
• Coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale.
• Proiezione di un vettore su un sottospazio: proprietà di ortogonalità e di minimo.
• Uso delle basi ortonormali nelle proiezioni.
• Esempio: {sin(x), cos(x), sin(2x),...} è base o.n. e la proiezione è la ridotta di Fourier.
• Norme vettoriali e norme matriciali.
• Norma di Schur.
• Norma indotta.
• Calcolo della norma-2 di una matrice simmetrica: esempio.

• Calcolo della norma-2 di una matrice qualunque.
• Calcolo della norma-1 e della norma-infinito.
• Proprietà delle norme matriciali.
• Uso delle norme matriciali per lo studio della stabilità delle soluzioni di un sistema lineare.
• Numero di condizionamento di una matrice.
• Significato del condizionamento.
• La matrice di Hilbert.

• Esempi di calcolo del condizionamento di una matrice
• Uso del condizionamento per verificare la stabilità delle soluzioni.
• Autovettori e direzione delle soluzioni instabili.
• Matrici ben condizionate e mal condizionate: applicazione geometrica.
• Metodi iterativi per i sistemi lineari: principi di base.
• Matrici diagonalmente dominanti.
• Il metodo di Jacobi.
• Il metodo di Gauss-Seidel.
• Cenno sul rilassamento.

• Matrici ortogonali e loro proprietà.
• Isometria delle matrici ortogonali.
• Norma-2 di una matrice ortogonale.
• Rotazioni di coordinate nel piano.
• Traslazioni e rototraslazioni: formule dirette e inverse.
• Uso dei cambiamenti di coordinate per il posizionamento di coniche.
• Linee piane: rappresentazione parametrica e cartesiana.
• Problemi nel passaggio da rappresentazione parametrica a cartesiana e viceversa.
• Linee e superfici nel piano e nello spazio.

• Generalità sulle linee.
• Linee piane.
• Rappresentazione cartesiana e parametrica.
• Esempi vari di linee nello spazio.
• Superfici nello spazio.
• Cilindri con generatrici parallele agli assi.
• Proiezioni di una linea mediante cilindri.
• Coordinate polari, cilindriche e sferiche.

• Studio di una superficie mediante sezioni piane.
• Coni.
• Superfici di rotazione.
• Rotazione di una linea: vari casi.
• Quadriche: descrizione delle principali quadriche.
• Quadriche rigate e non.
• Posizionamento di una quadrica.

Appelli di Matematica 3 nel 2004

Scritto	Mercoledì 14 gennaio	ore 9:00
Scritto	Martedì 3 febbraio	ore 14:30
Scritto	Martedì 17 febbraio	ore 9:00
Scritto	Venerdì 4 giugno	ore 14:30
Scritto	Lunedì 5 luglio	ore 14:30
Scritto	Mercoledì 15 settembre	ore 14:30

Attenzione: Gli orali relativi si svolgeranno in uno dei giorni immediatamente successivi allo scritto.
La data esatta verrà comunicata all'appello scritto.