Prerequisiti: i corsi di Matematica I e II.

Il programma di massima è il seguente:

• Spazi vettoriali con prodotto scalare. Basi ortonormali. Spazi vettoriali di funzioni.
• Norme vettoriali e matriciali. Sistemi lineari mal condizionati. Matrici ortogonali.
• Coordinate cartesiane e cambiamenti di riferimento nel piano e nello spazio.
• Linee e superfici nel piano e nello spazio: rappresentazione cartesiana e parametrica.
• Coni, cilindri, superfici rigate e di rotazione. Classificazione e riconoscimento di quadriche.
• Serie numeriche, serie di potenze e di Fourier, convergenza uniforme ed in media quadratica con elementi introduttivi all'analisi funzionale.
• Integrali tripli: domini normali rispetto a piani o rette. Calcolo con relative formule di riduzione ad integrali semplici in domini normali, cambiamento di variabili.
• Integrali di superficie: superfici orientabili, calcolo dell'area di una superficie, flusso di un campo vettoriale.
• Rotore e divergenza nello spazio: teoremi di Stokes e della divergenza. Integrazione numerica: metodo dei rettangoli, dei trapezi e di Simpson con stima dell'errore di approssimazione.
• Soluzioni approssimate di problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali ordinarie: metodo di Eulero con relativa convergenza, di Runge-Kutta.
• Equazioni lineari alle derivate parziali: classificazione, forme canoniche.
• Problemi al contorno ed ai valori iniziali, equazioni ellittiche, equazione delle onde e del calore.

Testi consigliati:

• per la parte di geometria

    Odetti-Raimondo - Elementi di algebra lineare e geometria analitica.

• per la parte di analisi

    R. A. Adams - Calcolo Differenziale 1 (integrazione numerica, serie)
    R. A. Adams - Calcolo Differenziale 2 (integrali tripli e di superficie)
    C.D. Pagan - S. Salsa - Analisi Matematica 2
  

• per gli esercizi

  Fascicoli con raccolte di esercizi svolti per la parte riguardante le serie numeriche, di potenze, di Fourier, gli integrali tripli e di superficie, reperibili presso la portineria della Fiera del Mare.

  Inoltre a lezione sarà distribuito materiale riguardante sia la parte teorica sia quella di esercizi.

Diario delle lezioni della parte di Geometria (prof. F.Odetti)

Venerdì 22-09-2006

• Richiami sugli spazi vettoriali.
• Spazi vettoriali non di dimensione finita.
• Basi degli spazi vettoriali.
• Basi di Hamel. esempio: i monomi in R[x]
• Cenno sulle basi di Hilbert.
• Spazi vettoriali con prodotto scalare.
• Prodotto euclideo in Rⁿ
• Altri prodotti scalari in Rⁿ con matrice definita positiva.
• Norma indotta da un prodotto scalare.
• Proprietà della norma.
• Norme in generale.
• Altre norme in Rⁿ: norma -1, norma-2, norma-inf.
• Esempio: {v in Rⁿ tali che ||v||=1}
• Prodotto scalare in C^o[a,b] mediante l'integrale.
• Norme in C^o[a,b]: norma dell'integrale e del sup.
• Sistemi ortonormali.

• Algoritmo di Gram-Schmidt: suo scopo.
• Esempio: ortonormalizzazione dei polinomi in C^o[-1,1]
• Coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale.
• Proiezione di un vettore su un sottospazio: proprietà di ortogonalità e di minimo.
• Uso delle basi ortonormali nelle proiezioni.
• Esempio: {sin(x), cos(x), sin(2x),...} è base o.n. e la proiezione è la ridotta di Fourier.
• Norme vettoriali e norme matriciali.
• Norma indotta.
• Calcolo della norma-2 di una matrice simmetrica: esempio.
• Calcolo della norma-2 di una matrice qualunque.
• Proprietà delle norme matriciali.

• Numero di condizionamento di una matrice.
• Significato del condizionamento.
• Esempi di calcolo del condizionamento di una matrice
• Uso del condizionamento per verificare la stabilità delle soluzioni.
• Matrici ben condizionate e mal condizionate
• Matrici ortogonali e loro proprietà.
• Isometria delle matrici ortogonali.
• Norma-2 di una matrice ortogonale.

• Traslazioni e rotazioni: formule dirette e inverse.
• Rototraslazioni: formule dirette e inverse.
• Ripasso sulle coniche.
• Linee e superfici nel piano e nello spazio: rappresentazione parametrica e cartesiana.
• Esempi vari di linee nello spazio.
• Cilindri con generatrici parallele agli assi.

• Coni e superfici di rotazione.
• Quadriche: descrizione delle quadriche.
• Riconoscimento delle quadriche.

• Riconoscimento di quadriche.
• Posizionamento di quadriche mediante rototraslazioni e altro.
• Costruzione di quadriche rigate.

Venerdì 10-11-2006

• Riconoscimento di quadriche.
• Piano tangente a una quadrica e sua inersezione con la quadrica stessa.
• Costruzione di superfici di rotazione.
• Posizionamento di quadriche mediante rototraslazione.
• Altri modi di effettuare cambi di coordinate.